פתור את -y^2+6y+7=0

$$- y ^ { 2 } + 6 y + 7 = 0$$

פתור עבור y

$$y=-1$$

$$y=7$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- -y^{2}+ay+by+7. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=6 ab=-7=-7$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. הצמד היחיד מסוג זה הוא פתרון המערכת.

$$a=7 b=-1$$

שכתב את ‎-y^{2}+6y+7 כ- ‎\left(-y^{2}+7y\right)+\left(-y+7\right).

$$\left(-y^{2}+7y\right)+\left(-y+7\right)$$

הוצא את הגורם המשותף -y בקבוצה הראשונה ואת -1 בקבוצה השניה.

$$-y\left(y-7\right)-\left(y-7\right)$$

הוצא את האיבר המשותף y-7 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(y-7\right)\left(-y-1\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את y-7=0 ו- -y-1=0.

$$y=7 y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$-y^{2}+6y+7=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- -1 במקום a, ב- 6 במקום b, וב- 7 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-1\right)\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

‎6 בריבוע.

$$y=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-1\right)\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-1.

$$y=\frac{-6±\sqrt{36+4\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

הכפל את ‎4 ב- ‎7.

$$y=\frac{-6±\sqrt{36+28}}{2\left(-1\right)}$$

הוסף את ‎36 ל- ‎28.

$$y=\frac{-6±\sqrt{64}}{2\left(-1\right)}$$

הוצא את השורש הריבועי של 64.

$$y=\frac{-6±8}{2\left(-1\right)}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-1.

$$y=\frac{-6±8}{-2}$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{-6±8}{-2} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-6 ל- ‎8.

$$y=\frac{2}{-2}$$

חלק את ‎2 ב- ‎-2.

$$y=-1$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{-6±8}{-2} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎8 מ- ‎-6.

$$y=-\frac{14}{-2}$$

חלק את ‎-14 ב- ‎-2.

$$y=7$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$y=-1 y=7$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$-y^{2}+6y+7=0$$

החסר ‎7 משני אגפי המשוואה.

$$-y^{2}+6y+7-7=-7$$

החסרת 7 מעצמו נותנת 0.

$$-y^{2}+6y=-7$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$\frac{-y^{2}+6y}{-1}=-\frac{7}{-1}$$

חילוק ב- ‎-1 מבטל את ההכפלה ב- ‎-1.

$$y^{2}+\frac{6}{-1}y=-\frac{7}{-1}$$

חלק את ‎6 ב- ‎-1.

$$y^{2}-6y=-\frac{7}{-1}$$

חלק את ‎-7 ב- ‎-1.

$$y^{2}-6y=7$$

חלק את ‎-6, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-3. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -3 לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$y^{2}-6y+\left(-3\right)^{2}=7+\left(-3\right)^{2}$$

‎-3 בריבוע.

$$y^{2}-6y+9=7+9$$

הוסף את ‎7 ל- ‎9.

$$y^{2}-6y+9=16$$

פרק y^{2}-6y+9 לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-3\right)^{2}=16$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(y-3\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

פשט.

$$y-3=4 y-3=-4$$

הוסף ‎3 לשני אגפי המשוואה.

$$y=7 y=-1$$