פתור את -7x^2+5x-4=0

$$- 7 x ^ { 2 } + 5 x - 4 = 0$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{87}i+5}{14}\approx 0.357142857-0.666241361i$$

$$x=\frac{5+\sqrt{87}i}{14}\approx 0.357142857+0.666241361i$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$-7x^{2}+5x-4=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- -7 במקום a, ב- 5 במקום b, וב- -4 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-7\right)\left(-4\right)}}{2\left(-7\right)}$$

‎5 בריבוע.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-7\right)\left(-4\right)}}{2\left(-7\right)}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-7.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+28\left(-4\right)}}{2\left(-7\right)}$$

הכפל את ‎28 ב- ‎-4.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-112}}{2\left(-7\right)}$$

הוסף את ‎25 ל- ‎-112.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-87}}{2\left(-7\right)}$$

הוצא את השורש הריבועי של -87.

$$x=\frac{-5±\sqrt{87}i}{2\left(-7\right)}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-7.

$$x=\frac{-5±\sqrt{87}i}{-14}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-5±\sqrt{87}i}{-14} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-5 ל- ‎i\sqrt{87}.

$$x=\frac{-5+\sqrt{87}i}{-14}$$

חלק את ‎-5+i\sqrt{87} ב- ‎-14.

$$x=\frac{-\sqrt{87}i+5}{14}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-5±\sqrt{87}i}{-14} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎i\sqrt{87} מ- ‎-5.

$$x=\frac{-\sqrt{87}i-5}{-14}$$

חלק את ‎-5-i\sqrt{87} ב- ‎-14.

$$x=\frac{5+\sqrt{87}i}{14}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{-\sqrt{87}i+5}{14} x=\frac{5+\sqrt{87}i}{14}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$-7x^{2}+5x-4=0$$

הוסף ‎4 לשני אגפי המשוואה.

$$-7x^{2}+5x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

החסרת -4 מעצמו נותנת 0.

$$-7x^{2}+5x=-\left(-4\right)$$

החסר ‎-4 מ- ‎0.

$$-7x^{2}+5x=4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-7.

$$\frac{-7x^{2}+5x}{-7}=\frac{4}{-7}$$

חילוק ב- ‎-7 מבטל את ההכפלה ב- ‎-7.

$$x^{2}+\frac{5}{-7}x=\frac{4}{-7}$$

חלק את ‎5 ב- ‎-7.

$$x^{2}-\frac{5}{7}x=\frac{4}{-7}$$

חלק את ‎4 ב- ‎-7.

$$x^{2}-\frac{5}{7}x=-\frac{4}{7}$$

חלק את ‎-\frac{5}{7}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{5}{14}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{5}{14} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{5}{7}x+\left(-\frac{5}{14}\right)^{2}=-\frac{4}{7}+\left(-\frac{5}{14}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{5}{14} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}=-\frac{4}{7}+\frac{25}{196}$$

הוסף את ‎-\frac{4}{7} ל- ‎\frac{25}{196} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}=-\frac{87}{196}$$

פרק x^{2}-\frac{5}{7}x+\frac{25}{196} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{14}\right)^{2}=-\frac{87}{196}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{14}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{87}{196}}$$

פשט.

$$x-\frac{5}{14}=\frac{\sqrt{87}i}{14} x-\frac{5}{14}=-\frac{\sqrt{87}i}{14}$$

הוסף ‎\frac{5}{14} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{5+\sqrt{87}i}{14} x=\frac{-\sqrt{87}i+5}{14}$$