פתור את -5z^2-4z+3=0

$$- 5 z ^ { 2 } - 4 z + 3 = 0$$

פתור עבור z

$$z=\frac{\sqrt{19}-2}{5}\approx 0.471779789$$

$$z=\frac{-\sqrt{19}-2}{5}\approx -1.271779789$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$-5z^{2}-4z+3=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- -5 במקום a, ב- -4 במקום b, וב- 3 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\left(-5\right)\times 3}}{2\left(-5\right)}$$

‎-4 בריבוע.

$$z=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\left(-5\right)\times 3}}{2\left(-5\right)}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-5.

$$z=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+20\times 3}}{2\left(-5\right)}$$

הכפל את ‎20 ב- ‎3.

$$z=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+60}}{2\left(-5\right)}$$

הוסף את ‎16 ל- ‎60.

$$z=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{76}}{2\left(-5\right)}$$

הוצא את השורש הריבועי של 76.

$$z=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{19}}{2\left(-5\right)}$$

ההופכי של ‎-4 הוא ‎4.

$$z=\frac{4±2\sqrt{19}}{2\left(-5\right)}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-5.

$$z=\frac{4±2\sqrt{19}}{-10}$$

כעת פתור את המשוואה z=\frac{4±2\sqrt{19}}{-10} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎4 ל- ‎2\sqrt{19}.

$$z=\frac{2\sqrt{19}+4}{-10}$$

חלק את ‎4+2\sqrt{19} ב- ‎-10.

$$z=\frac{-\sqrt{19}-2}{5}$$

כעת פתור את המשוואה z=\frac{4±2\sqrt{19}}{-10} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎2\sqrt{19} מ- ‎4.

$$z=\frac{4-2\sqrt{19}}{-10}$$

חלק את ‎4-2\sqrt{19} ב- ‎-10.

$$z=\frac{\sqrt{19}-2}{5}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$z=\frac{-\sqrt{19}-2}{5} z=\frac{\sqrt{19}-2}{5}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$-5z^{2}-4z+3=0$$

החסר ‎3 משני אגפי המשוואה.

$$-5z^{2}-4z+3-3=-3$$

החסרת 3 מעצמו נותנת 0.

$$-5z^{2}-4z=-3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-5.

$$\frac{-5z^{2}-4z}{-5}=-\frac{3}{-5}$$

חילוק ב- ‎-5 מבטל את ההכפלה ב- ‎-5.

$$z^{2}+\left(-\frac{4}{-5}\right)z=-\frac{3}{-5}$$

חלק את ‎-4 ב- ‎-5.

$$z^{2}+\frac{4}{5}z=-\frac{3}{-5}$$

חלק את ‎-3 ב- ‎-5.

$$z^{2}+\frac{4}{5}z=\frac{3}{5}$$

חלק את ‎\frac{4}{5}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{2}{5}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{2}{5} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$z^{2}+\frac{4}{5}z+\left(\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{3}{5}+\left(\frac{2}{5}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{2}{5} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$z^{2}+\frac{4}{5}z+\frac{4}{25}=\frac{3}{5}+\frac{4}{25}$$

הוסף את ‎\frac{3}{5} ל- ‎\frac{4}{25} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$z^{2}+\frac{4}{5}z+\frac{4}{25}=\frac{19}{25}$$

פרק z^{2}+\frac{4}{5}z+\frac{4}{25} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z+\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{19}{25}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(z+\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{19}{25}}$$

פשט.

$$z+\frac{2}{5}=\frac{\sqrt{19}}{5} z+\frac{2}{5}=-\frac{\sqrt{19}}{5}$$

החסר ‎\frac{2}{5} משני אגפי המשוואה.

$$z=\frac{\sqrt{19}-2}{5} z=\frac{-\sqrt{19}-2}{5}$$