פתור את -5x^2+9x+2=0

$$- 5 x ^ { 2 } + 9 x + 2 = 0$$

פתור עבור x

$$x=2$$

$$x=-\frac{1}{5}=-0.2$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- -5x^{2}+ax+bx+2. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=9 ab=-5\times 2=-10$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -10.

$$-1,10 -2,5$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 9.

$$a=10 b=-1$$

שכתב את ‎-5x^{2}+9x+2 כ- ‎\left(-5x^{2}+10x\right)+\left(-x+2\right).

$$\left(-5x^{2}+10x\right)+\left(-x+2\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 5x ב- -5x^{2}+10x.

$$5x\left(-x+2\right)-x+2$$

הוצא את האיבר המשותף -x+2 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(-x+2\right)\left(5x+1\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את -x+2=0 ו- 5x+1=0.

$$x=2 x=-\frac{1}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$-5x^{2}+9x+2=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- -5 במקום a, ב- 9 במקום b, וב- 2 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\left(-5\right)\times 2}}{2\left(-5\right)}$$

‎9 בריבוע.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\left(-5\right)\times 2}}{2\left(-5\right)}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-5.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+20\times 2}}{2\left(-5\right)}$$

הכפל את ‎20 ב- ‎2.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+40}}{2\left(-5\right)}$$

הוסף את ‎81 ל- ‎40.

$$x=\frac{-9±\sqrt{121}}{2\left(-5\right)}$$

הוצא את השורש הריבועי של 121.

$$x=\frac{-9±11}{2\left(-5\right)}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-5.

$$x=\frac{-9±11}{-10}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-9±11}{-10} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-9 ל- ‎11.

$$x=\frac{2}{-10}$$

צמצם את השבר ‎\frac{2}{-10} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=-\frac{1}{5}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-9±11}{-10} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎11 מ- ‎-9.

$$x=-\frac{20}{-10}$$

חלק את ‎-20 ב- ‎-10.

$$x=2$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=-\frac{1}{5} x=2$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$-5x^{2}+9x+2=0$$

החסר ‎2 משני אגפי המשוואה.

$$-5x^{2}+9x+2-2=-2$$

החסרת 2 מעצמו נותנת 0.

$$-5x^{2}+9x=-2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-5.

$$\frac{-5x^{2}+9x}{-5}=-\frac{2}{-5}$$

חילוק ב- ‎-5 מבטל את ההכפלה ב- ‎-5.

$$x^{2}+\frac{9}{-5}x=-\frac{2}{-5}$$

חלק את ‎9 ב- ‎-5.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x=-\frac{2}{-5}$$

חלק את ‎-2 ב- ‎-5.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x=\frac{2}{5}$$

חלק את ‎-\frac{9}{5}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{9}{10}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{9}{10} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\left(-\frac{9}{10}\right)^{2}=\frac{2}{5}+\left(-\frac{9}{10}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{9}{10} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}=\frac{2}{5}+\frac{81}{100}$$

הוסף את ‎\frac{2}{5} ל- ‎\frac{81}{100} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}=\frac{121}{100}$$

פרק x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{10}\right)^{2}=\frac{121}{100}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{100}}$$

פשט.

$$x-\frac{9}{10}=\frac{11}{10} x-\frac{9}{10}=-\frac{11}{10}$$

הוסף ‎\frac{9}{10} לשני אגפי המשוואה.

$$x=2 x=-\frac{1}{5}$$