פתור את -3x^2-5x+12=0

$$- 3 x ^ { 2 } - 5 x + 12 = 0$$

פתור עבור x

$$x=-3$$

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- -3x^{2}+ax+bx+12. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-5 ab=-3\times 12=-36$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -36.

$$1,-36 2,-18 3,-12 4,-9 6,-6$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-36=-35 2-18=-16 3-12=-9 4-9=-5 6-6=0$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -5.

$$a=4 b=-9$$

שכתב את ‎-3x^{2}-5x+12 כ- ‎\left(-3x^{2}+4x\right)+\left(-9x+12\right).

$$\left(-3x^{2}+4x\right)+\left(-9x+12\right)$$

הוצא את הגורם המשותף -x בקבוצה הראשונה ואת -3 בקבוצה השניה.

$$-x\left(3x-4\right)-3\left(3x-4\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 3x-4 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(3x-4\right)\left(-x-3\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את 3x-4=0 ו- -x-3=0.

$$x=\frac{4}{3} x=-3$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$-3x^{2}-5x+12=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- -3 במקום a, ב- -5 במקום b, וב- 12 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\left(-3\right)\times 12}}{2\left(-3\right)}$$

‎-5 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\left(-3\right)\times 12}}{2\left(-3\right)}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+12\times 12}}{2\left(-3\right)}$$

הכפל את ‎12 ב- ‎12.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+144}}{2\left(-3\right)}$$

הוסף את ‎25 ל- ‎144.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{169}}{2\left(-3\right)}$$

הוצא את השורש הריבועי של 169.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±13}{2\left(-3\right)}$$

ההופכי של ‎-5 הוא ‎5.

$$x=\frac{5±13}{2\left(-3\right)}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-3.

$$x=\frac{5±13}{-6}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{5±13}{-6} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎5 ל- ‎13.

$$x=\frac{18}{-6}$$

חלק את ‎18 ב- ‎-6.

$$x=-3$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{5±13}{-6} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎13 מ- ‎5.

$$x=-\frac{8}{-6}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-8}{-6} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=\frac{4}{3}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=-3 x=\frac{4}{3}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}-5x+12=0$$

החסר ‎12 משני אגפי המשוואה.

$$-3x^{2}-5x+12-12=-12$$

החסרת 12 מעצמו נותנת 0.

$$-3x^{2}-5x=-12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$\frac{-3x^{2}-5x}{-3}=-\frac{12}{-3}$$

חילוק ב- ‎-3 מבטל את ההכפלה ב- ‎-3.

$$x^{2}+\left(-\frac{5}{-3}\right)x=-\frac{12}{-3}$$

חלק את ‎-5 ב- ‎-3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=-\frac{12}{-3}$$

חלק את ‎-12 ב- ‎-3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=4$$

חלק את ‎\frac{5}{3}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{5}{6}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{5}{6} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=4+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{5}{6} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=4+\frac{25}{36}$$

הוסף את ‎4 ל- ‎\frac{25}{36}.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{169}{36}$$

פרק x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

פשט.

$$x+\frac{5}{6}=\frac{13}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{13}{6}$$

החסר ‎\frac{5}{6} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{4}{3} x=-3$$