פתור את -3x^2-11x-10>0

$$- 3 x ^ { 2 } - 11 x - 10 > 0$$

פתור עבור x

$$x\in \left(-2,-\frac{5}{3}\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

הכפל את אי-השוויון ב- ‎-1 כדי להפוך את המקדם של החזקה הגבוהה ביותר ב- ‎-3x^{2}-11x-10 לחיובי. מאחר -1 שלילי, כיוון אי-השוויון משתנה.

$$3x^{2}+11x+10<0$$

כדי לפתור את אי-השוויון, פרק לגורמים את האגף השמאלי. ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$3x^{2}+11x+10=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎3 ב- a, את ‎11 ב- b ואת ‎10 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 3\times 10}}{2\times 3}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{-11±1}{6}$$

פתור את המשוואה ‎x=\frac{-11±1}{6} כאשר ± הוא סימן חיבור וכאשר ± הוא סימן חיסור.

$$x=-\frac{5}{3} x=-2$$

שכתב את אי-שוויון באמצעות הפתרונות שהתקבלו.

$$3\left(x+\frac{5}{3}\right)\left(x+2\right)<0$$

כדי שהמכפלה תהיה שלילית, הסימנים של ‎x+\frac{5}{3} ו- ‎x+2 צריכים להיות מנוגדים. שקול את המקרה כאשר ‎x+\frac{5}{3} הוא חיובי ו- ‎x+2 הוא שלילי.

$$x+\frac{5}{3}>0 x+2<0$$

זהו שקר עבור כל x.

$$x\in \emptyset$$

שקול את המקרה כאשר ‎x+2 הוא חיובי ו- ‎x+\frac{5}{3} הוא שלילי.

$$x+2>0 x+\frac{5}{3}<0$$

הפתרון העונה על שני מצבי אי-השוויון הוא ‎x\in \left(-2,-\frac{5}{3}\right).

$$x\in \left(-2,-\frac{5}{3}\right)$$

הפתרון הסופי הוא האיחוד של הפתרונות שהתקבלו.

$$x\in \left(-2,-\frac{5}{3}\right)$$