פתור את -3x^2+51x-156=0

$$- 3 x ^ { 2 } + 51 x - 156 = 0$$

פתור עבור x

$$x=4$$

$$x=13$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$-x^{2}+17x-52=0$$

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- -x^{2}+ax+bx-52. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=17 ab=-\left(-52\right)=52$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 52.

$$1,52 2,26 4,13$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+52=53 2+26=28 4+13=17$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 17.

$$a=13 b=4$$

שכתב את ‎-x^{2}+17x-52 כ- ‎\left(-x^{2}+13x\right)+\left(4x-52\right).

$$\left(-x^{2}+13x\right)+\left(4x-52\right)$$

הוצא את הגורם המשותף -x בקבוצה הראשונה ואת 4 בקבוצה השניה.

$$-x\left(x-13\right)+4\left(x-13\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-13 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-13\right)\left(-x+4\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-13=0 ו- -x+4=0.

$$x=13 x=4$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$-3x^{2}+51x-156=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- -3 במקום a, ב- 51 במקום b, וב- -156 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-51±\sqrt{51^{2}-4\left(-3\right)\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

‎51 בריבוע.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601-4\left(-3\right)\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-3.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601+12\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

הכפל את ‎12 ב- ‎-156.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601-1872}}{2\left(-3\right)}$$

הוסף את ‎2601 ל- ‎-1872.

$$x=\frac{-51±\sqrt{729}}{2\left(-3\right)}$$

הוצא את השורש הריבועי של 729.

$$x=\frac{-51±27}{2\left(-3\right)}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-3.

$$x=\frac{-51±27}{-6}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-51±27}{-6} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-51 ל- ‎27.

$$x=-\frac{24}{-6}$$

חלק את ‎-24 ב- ‎-6.

$$x=4$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-51±27}{-6} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎27 מ- ‎-51.

$$x=-\frac{78}{-6}$$

חלק את ‎-78 ב- ‎-6.

$$x=13$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=4 x=13$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+51x-156=0$$

הוסף ‎156 לשני אגפי המשוואה.

$$-3x^{2}+51x-156-\left(-156\right)=-\left(-156\right)$$

החסרת -156 מעצמו נותנת 0.

$$-3x^{2}+51x=-\left(-156\right)$$

החסר ‎-156 מ- ‎0.

$$-3x^{2}+51x=156$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$\frac{-3x^{2}+51x}{-3}=\frac{156}{-3}$$

חילוק ב- ‎-3 מבטל את ההכפלה ב- ‎-3.

$$x^{2}+\frac{51}{-3}x=\frac{156}{-3}$$

חלק את ‎51 ב- ‎-3.

$$x^{2}-17x=\frac{156}{-3}$$

חלק את ‎156 ב- ‎-3.

$$x^{2}-17x=-52$$

חלק את ‎-17, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{17}{2}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{17}{2} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-17x+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}=-52+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{17}{2} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=-52+\frac{289}{4}$$

הוסף את ‎-52 ל- ‎\frac{289}{4}.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=\frac{81}{4}$$

פרק x^{2}-17x+\frac{289}{4} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

פשט.

$$x-\frac{17}{2}=\frac{9}{2} x-\frac{17}{2}=-\frac{9}{2}$$

הוסף ‎\frac{17}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$x=13 x=4$$