פתור את -2x^2+2x+15=0

$$- 2 x ^ { 2 } + 2 x + 15 = 0$$

פתור עבור x

$$x = \frac{\sqrt{31} + 1}{2} \approx 3.283882181$$

$$x=\frac{1-\sqrt{31}}{2}\approx -2.283882181$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$-2x^{2}+2x+15=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- -2 במקום a, ב- 2 במקום b, וב- 15 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-2\right)\times 15}}{2\left(-2\right)}$$

‎2 בריבוע.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-2\right)\times 15}}{2\left(-2\right)}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+8\times 15}}{2\left(-2\right)}$$

הכפל את ‎8 ב- ‎15.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+120}}{2\left(-2\right)}$$

הוסף את ‎4 ל- ‎120.

$$x=\frac{-2±\sqrt{124}}{2\left(-2\right)}$$

הוצא את השורש הריבועי של 124.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{31}}{2\left(-2\right)}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-2.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{31}}{-4}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-2±2\sqrt{31}}{-4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-2 ל- ‎2\sqrt{31}.

$$x=\frac{2\sqrt{31}-2}{-4}$$

חלק את ‎-2+2\sqrt{31} ב- ‎-4.

$$x=\frac{1-\sqrt{31}}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-2±2\sqrt{31}}{-4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎2\sqrt{31} מ- ‎-2.

$$x=\frac{-2\sqrt{31}-2}{-4}$$

חלק את ‎-2-2\sqrt{31} ב- ‎-4.

$$x=\frac{\sqrt{31}+1}{2}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{1-\sqrt{31}}{2} x=\frac{\sqrt{31}+1}{2}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+2x+15=0$$

החסר ‎15 משני אגפי המשוואה.

$$-2x^{2}+2x+15-15=-15$$

החסרת 15 מעצמו נותנת 0.

$$-2x^{2}+2x=-15$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$\frac{-2x^{2}+2x}{-2}=-\frac{15}{-2}$$

חילוק ב- ‎-2 מבטל את ההכפלה ב- ‎-2.

$$x^{2}+\frac{2}{-2}x=-\frac{15}{-2}$$

חלק את ‎2 ב- ‎-2.

$$x^{2}-x=-\frac{15}{-2}$$

חלק את ‎-15 ב- ‎-2.

$$x^{2}-x=\frac{15}{2}$$

חלק את ‎-1, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{1}{2}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{1}{2} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{15}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{1}{2} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{15}{2}+\frac{1}{4}$$

הוסף את ‎\frac{15}{2} ל- ‎\frac{1}{4} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{31}{4}$$

פרק x^{2}-x+\frac{1}{4} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{31}{4}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{31}{4}}$$

פשט.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{31}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{31}}{2}$$

הוסף ‎\frac{1}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{\sqrt{31}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{31}}{2}$$