פתור את -1/2x^2-3/2x+4=0

$$- \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } - \frac { 3 } { 2 } x + 4 = 0$$

פתור עבור x

$$x = \frac{\sqrt{41} - 3}{2} \approx 1.701562119$$

$$x=\frac{-\sqrt{41}-3}{2}\approx -4.701562119$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$-\frac{1}{2}x^{2}-\frac{3}{2}x+4=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- -\frac{1}{2} במקום a, ב- -\frac{3}{2} במקום b, וב- 4 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{2}\right)±\sqrt{\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}-4\left(-\frac{1}{2}\right)\times 4}}{2\left(-\frac{1}{2}\right)}$$

העלה את ‎-\frac{3}{2} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{2}\right)±\sqrt{\frac{9}{4}-4\left(-\frac{1}{2}\right)\times 4}}{2\left(-\frac{1}{2}\right)}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-\frac{1}{2}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{2}\right)±\sqrt{\frac{9}{4}+2\times 4}}{2\left(-\frac{1}{2}\right)}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{2}\right)±\sqrt{\frac{9}{4}+8}}{2\left(-\frac{1}{2}\right)}$$

הוסף את ‎\frac{9}{4} ל- ‎8.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{2}\right)±\sqrt{\frac{41}{4}}}{2\left(-\frac{1}{2}\right)}$$

הוצא את השורש הריבועי של \frac{41}{4}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{2}\right)±\frac{\sqrt{41}}{2}}{2\left(-\frac{1}{2}\right)}$$

ההופכי של ‎-\frac{3}{2} הוא ‎\frac{3}{2}.

$$x=\frac{\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{41}}{2}}{2\left(-\frac{1}{2}\right)}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-\frac{1}{2}.

$$x=\frac{\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{41}}{2}}{-1}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{41}}{2}}{-1} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎\frac{3}{2} ל- ‎\frac{\sqrt{41}}{2}.

$$x=\frac{\sqrt{41}+3}{-2}$$

חלק את ‎\frac{3+\sqrt{41}}{2} ב- ‎-1.

$$x=\frac{-\sqrt{41}-3}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{41}}{2}}{-1} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎\frac{\sqrt{41}}{2} מ- ‎\frac{3}{2}.

$$x=\frac{3-\sqrt{41}}{-2}$$

חלק את ‎\frac{3-\sqrt{41}}{2} ב- ‎-1.

$$x=\frac{\sqrt{41}-3}{2}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{-\sqrt{41}-3}{2} x=\frac{\sqrt{41}-3}{2}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$-\frac{1}{2}x^{2}-\frac{3}{2}x+4=0$$

החסר ‎4 משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{1}{2}x^{2}-\frac{3}{2}x+4-4=-4$$

החסרת 4 מעצמו נותנת 0.

$$-\frac{1}{2}x^{2}-\frac{3}{2}x=-4$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎-2.

$$\frac{-\frac{1}{2}x^{2}-\frac{3}{2}x}{-\frac{1}{2}}=-\frac{4}{-\frac{1}{2}}$$

חילוק ב- ‎-\frac{1}{2} מבטל את ההכפלה ב- ‎-\frac{1}{2}.

$$x^{2}+\left(-\frac{\frac{3}{2}}{-\frac{1}{2}}\right)x=-\frac{4}{-\frac{1}{2}}$$

חלק את ‎-\frac{3}{2} ב- ‎-\frac{1}{2} על-ידי הכפלת ‎-\frac{3}{2} בהופכי של ‎-\frac{1}{2}.

$$x^{2}+3x=-\frac{4}{-\frac{1}{2}}$$

חלק את ‎-4 ב- ‎-\frac{1}{2} על-ידי הכפלת ‎-4 בהופכי של ‎-\frac{1}{2}.

$$x^{2}+3x=8$$

חלק את ‎3, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{3}{2}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{3}{2} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=8+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{3}{2} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=8+\frac{9}{4}$$

הוסף את ‎8 ל- ‎\frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{41}{4}$$

פרק x^{2}+3x+\frac{9}{4} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{41}{4}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{41}{4}}$$

פשט.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{41}}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{41}}{2}$$

החסר ‎\frac{3}{2} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{\sqrt{41}-3}{2} x=\frac{-\sqrt{41}-3}{2}$$