פתור את (2x-3)(x+1)-(x-2)<0

$$(2x-3)(x+1)-(x-2) < 0$$

פתור עבור x

$$x\in \left(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2x-3 ב- x+1 ולכנס איברים דומים.

$$2x^{2}-x-3-\left(x-2\right)<0$$

כדי למצוא את ההופכי של ‎x-2, מצא את ההופכי של כל איבר.

$$2x^{2}-x-3-x+2<0$$

כנס את ‎-x ו- ‎-x כדי לקבל ‎-2x.

$$2x^{2}-2x-3+2<0$$

חבר את ‎-3 ו- ‎2 כדי לקבל ‎-1.

$$2x^{2}-2x-1<0$$

כדי לפתור את אי-השוויון, פרק לגורמים את האגף השמאלי. ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-2x-1=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎2 ב- a, את ‎-2 ב- b ואת ‎-1 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4}$$

פתור את המשוואה ‎x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4} כאשר ± הוא סימן חיבור וכאשר ± הוא סימן חיסור.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

שכתב את אי-שוויון באמצעות הפתרונות שהתקבלו.

$$2\left(x-\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)\left(x-\frac{1-\sqrt{3}}{2}\right)<0$$

כדי שהמכפלה תהיה שלילית, הסימנים של ‎x-\frac{\sqrt{3}+1}{2} ו- ‎x-\frac{1-\sqrt{3}}{2} צריכים להיות מנוגדים. שקול את המקרה כאשר ‎x-\frac{\sqrt{3}+1}{2} הוא חיובי ו- ‎x-\frac{1-\sqrt{3}}{2} הוא שלילי.

$$x-\frac{\sqrt{3}+1}{2}>0 x-\frac{1-\sqrt{3}}{2}<0$$

זהו שקר עבור כל x.

$$x\in \emptyset$$

שקול את המקרה כאשר ‎x-\frac{1-\sqrt{3}}{2} הוא חיובי ו- ‎x-\frac{\sqrt{3}+1}{2} הוא שלילי.

$$x-\frac{1-\sqrt{3}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{3}+1}{2}<0$$

הפתרון העונה על שני מצבי אי-השוויון הוא ‎x\in \left(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right).

$$x\in \left(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)$$

הפתרון הסופי הוא האיחוד של הפתרונות שהתקבלו.

$$x\in \left(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)$$