פתור את (x-2)^2geq7

$$( x - 2 ) ^ { 2 } \geq 7$$

פתור עבור x

$$x\in (-\infty,2-\sqrt{7}]\cup [\sqrt{7}+2,\infty)$$

שלבי פתרון

כדי לפתור את אי-השוויון, פרק לגורמים את האגף השמאלי. ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$\left(x-2\right)^{2}=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎1 ב- a, את ‎-4 ב- b ואת ‎-3 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 1\left(-3\right)}}{2}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{4±2\sqrt{7}}{2}$$

פתור את המשוואה ‎x=\frac{4±2\sqrt{7}}{2} כאשר ± הוא סימן חיבור וכאשר ± הוא סימן חיסור.

$$x=\sqrt{7}+2 x=2-\sqrt{7}$$

שכתב את אי-שוויון באמצעות הפתרונות שהתקבלו.

$$\left(x-\left(\sqrt{7}+2\right)\right)\left(x-\left(2-\sqrt{7}\right)\right)\geq 0$$

כדי שהמכפלה תהיה ≥0‏, ‎x-\left(\sqrt{7}+2\right) ו- ‎x-\left(2-\sqrt{7}\right) חייבים שניהם להיות ≤0 או ≥0. שקול את המקרה כאשר ‎x-\left(\sqrt{7}+2\right) ו- ‎x-\left(2-\sqrt{7}\right) שניהם ≤0.

$$x-\left(\sqrt{7}+2\right)\leq 0 x-\left(2-\sqrt{7}\right)\leq 0$$

הפתרון העונה על שני מצבי אי-השוויון הוא ‎x\leq 2-\sqrt{7}.

$$x\leq 2-\sqrt{7}$$

שקול את המקרה כאשר ‎x-\left(\sqrt{7}+2\right) ו- ‎x-\left(2-\sqrt{7}\right) שניהם ≥0.

$$x-\left(2-\sqrt{7}\right)\geq 0 x-\left(\sqrt{7}+2\right)\geq 0$$

הפתרון העונה על שני מצבי אי-השוויון הוא ‎x\geq \sqrt{7}+2.

$$x\geq \sqrt{7}+2$$

הפתרון הסופי הוא האיחוד של הפתרונות שהתקבלו.

$$x\leq 2-\sqrt{7}\text{; }x\geq \sqrt{7}+2$$