פתור את (4sqrt{3}+frac{xsqrt{3}}{2})^2+x^2/4=156

$$( 4 \sqrt { 3 } + \frac { x \sqrt { 3 } } { 2 } ) ^ { 2 } + \frac { x ^ { 2 } } { 4 } = 156$$

פתור עבור x

$$x=-18$$

$$x=6$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎4.

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}.

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

הריבוע של ‎\sqrt{3} הוא ‎3.

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

הכפל את ‎16 ו- ‎3 כדי לקבל ‎48.

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎2 ב- ‎8 ו- ‎2.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

כדי להעלות את \frac{x\sqrt{3}}{2} בחזקה, העלה גם המונה וגם את המכנה בחזקה ולאחר מכן בצע חילוק.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

כדי לחבר או להחסיר ביטויים, הרחב אותם כדי ליצור עבורם מכנה זהה. הכפל את ‎48 ב- ‎\frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

מכיוון ש- \frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} ו- \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}} כוללים מכנה זהה, חבר אותם על-ידי חיבור המונים שלהם.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 4 ב- \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}.

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

חשב את 2 בחזקת 2 וקבל 4.

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

הכפל את ‎48 ו- ‎4 כדי לקבל ‎192.

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

פיתוח ‎\left(x\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

הריבוע של ‎\sqrt{3} הוא ‎3.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

חשב את 2 בחזקת 2 וקבל 4.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

בטא את ‎4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} כשבר אחד.

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

ביטול ‎4 ו- ‎4.

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

הריבוע של ‎\sqrt{3} הוא ‎3.

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

הכפל את ‎16 ו- ‎3 כדי לקבל ‎48.

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

כנס את ‎x^{2}\times 3 ו- ‎x^{2} כדי לקבל ‎4x^{2}.

$$192+4x^{2}+48x=624$$

החסר ‎624 משני האגפים.

$$192+4x^{2}+48x-624=0$$

החסר את 624 מ- 192 כדי לקבל -432.

$$-432+4x^{2}+48x=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$-108+x^{2}+12x=0$$

סדר מחדש את הפולינום כדי להעביר אותה לצורה סטנדרטית. מקם את האיברים לפי הסדר מהחזקה הגבוהה ביותר לנמוכה ביותר.

$$x^{2}+12x-108=0$$

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- x^{2}+ax+bx-108. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=12 ab=1\left(-108\right)=-108$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -108.

$$-1,108 -2,54 -3,36 -4,27 -6,18 -9,12$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+108=107 -2+54=52 -3+36=33 -4+27=23 -6+18=12 -9+12=3$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 12.

$$a=-6 b=18$$

שכתב את ‎x^{2}+12x-108 כ- ‎\left(x^{2}-6x\right)+\left(18x-108\right).

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(18x-108\right)$$

הוצא את הגורם המשותף x בקבוצה הראשונה ואת 18 בקבוצה השניה.

$$x\left(x-6\right)+18\left(x-6\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-6 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-6\right)\left(x+18\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-6=0 ו- x+18=0.

$$x=6 x=-18$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎4.

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}.

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

הריבוע של ‎\sqrt{3} הוא ‎3.

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

הכפל את ‎16 ו- ‎3 כדי לקבל ‎48.

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎2 ב- ‎8 ו- ‎2.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

כדי להעלות את \frac{x\sqrt{3}}{2} בחזקה, העלה גם המונה וגם את המכנה בחזקה ולאחר מכן בצע חילוק.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

כדי לחבר או להחסיר ביטויים, הרחב אותם כדי ליצור עבורם מכנה זהה. הכפל את ‎48 ב- ‎\frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

מכיוון ש- \frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} ו- \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}} כוללים מכנה זהה, חבר אותם על-ידי חיבור המונים שלהם.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 4 ב- \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}.

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

חשב את 2 בחזקת 2 וקבל 4.

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

הכפל את ‎48 ו- ‎4 כדי לקבל ‎192.

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

פיתוח ‎\left(x\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

הריבוע של ‎\sqrt{3} הוא ‎3.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

חשב את 2 בחזקת 2 וקבל 4.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

בטא את ‎4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} כשבר אחד.

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

ביטול ‎4 ו- ‎4.

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

הריבוע של ‎\sqrt{3} הוא ‎3.

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

הכפל את ‎16 ו- ‎3 כדי לקבל ‎48.

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

כנס את ‎x^{2}\times 3 ו- ‎x^{2} כדי לקבל ‎4x^{2}.

$$192+4x^{2}+48x=624$$

החסר ‎624 משני האגפים.

$$192+4x^{2}+48x-624=0$$

החסר את 624 מ- 192 כדי לקבל -432.

$$-432+4x^{2}+48x=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$4x^{2}+48x-432=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 4 במקום a, ב- 48 במקום b, וב- -432 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 4\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

‎48 בריבוע.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 4\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎4.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-16\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-16 ב- ‎-432.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304+6912}}{2\times 4}$$

הוסף את ‎2304 ל- ‎6912.

$$x=\frac{-48±\sqrt{9216}}{2\times 4}$$

הוצא את השורש הריבועי של 9216.

$$x=\frac{-48±96}{2\times 4}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$x=\frac{-48±96}{8}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-48±96}{8} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-48 ל- ‎96.

$$x=\frac{48}{8}$$

חלק את ‎48 ב- ‎8.

$$x=6$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-48±96}{8} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎96 מ- ‎-48.

$$x=-\frac{144}{8}$$

חלק את ‎-144 ב- ‎8.

$$x=-18$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=6 x=-18$$

שלבים להשלמת הריבוע

הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎4.

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}.

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

הריבוע של ‎\sqrt{3} הוא ‎3.

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

הכפל את ‎16 ו- ‎3 כדי לקבל ‎48.

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎2 ב- ‎8 ו- ‎2.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

כדי להעלות את \frac{x\sqrt{3}}{2} בחזקה, העלה גם המונה וגם את המכנה בחזקה ולאחר מכן בצע חילוק.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

כדי לחבר או להחסיר ביטויים, הרחב אותם כדי ליצור עבורם מכנה זהה. הכפל את ‎48 ב- ‎\frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

מכיוון ש- \frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} ו- \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}} כוללים מכנה זהה, חבר אותם על-ידי חיבור המונים שלהם.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 4 ב- \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}.

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

חשב את 2 בחזקת 2 וקבל 4.

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

הכפל את ‎48 ו- ‎4 כדי לקבל ‎192.

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

פיתוח ‎\left(x\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

הריבוע של ‎\sqrt{3} הוא ‎3.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

חשב את 2 בחזקת 2 וקבל 4.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

בטא את ‎4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} כשבר אחד.

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

ביטול ‎4 ו- ‎4.

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

הריבוע של ‎\sqrt{3} הוא ‎3.

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

הכפל את ‎16 ו- ‎3 כדי לקבל ‎48.

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

כנס את ‎x^{2}\times 3 ו- ‎x^{2} כדי לקבל ‎4x^{2}.

$$192+4x^{2}+48x=624$$

החסר ‎192 משני האגפים.

$$4x^{2}+48x=624-192$$

החסר את 192 מ- 624 כדי לקבל 432.

$$4x^{2}+48x=432$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$\frac{4x^{2}+48x}{4}=\frac{432}{4}$$

חילוק ב- ‎4 מבטל את ההכפלה ב- ‎4.

$$x^{2}+\frac{48}{4}x=\frac{432}{4}$$

חלק את ‎48 ב- ‎4.

$$x^{2}+12x=\frac{432}{4}$$

חלק את ‎432 ב- ‎4.

$$x^{2}+12x=108$$

חלק את ‎12, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎6. לאחר מכן הוסף את הריבוע של 6 לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+12x+6^{2}=108+6^{2}$$

‎6 בריבוע.

$$x^{2}+12x+36=108+36$$

הוסף את ‎108 ל- ‎36.

$$x^{2}+12x+36=144$$

פרק x^{2}+12x+36 לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+6\right)^{2}=144$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{144}$$

פשט.

$$x+6=12 x+6=-12$$

החסר ‎6 משני אגפי המשוואה.

$$x=6 x=-18$$