פתור את (3+r)^2+(15+r)^2=18^2

$$( 3 + r ) ^ { 2 } + ( 15 + r ) ^ { 2 } = 18 ^ { 2 }$$

פתור עבור r

$$r=3\sqrt{14}-9\approx 2.22497216$$

$$r=-3\sqrt{14}-9\approx -20.22497216$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

השתמש בבינום של ניוטון \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(3+r\right)^{2}.

$$9+6r+r^{2}+\left(15+r\right)^{2}=18^{2}$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(15+r\right)^{2}.

$$9+6r+r^{2}+225+30r+r^{2}=18^{2}$$

חבר את ‎9 ו- ‎225 כדי לקבל ‎234.

$$234+6r+r^{2}+30r+r^{2}=18^{2}$$

כנס את ‎6r ו- ‎30r כדי לקבל ‎36r.

$$234+36r+r^{2}+r^{2}=18^{2}$$

כנס את ‎r^{2} ו- ‎r^{2} כדי לקבל ‎2r^{2}.

$$234+36r+2r^{2}=18^{2}$$

חשב את 18 בחזקת 2 וקבל 324.

$$234+36r+2r^{2}=324$$

החסר ‎324 משני האגפים.

$$234+36r+2r^{2}-324=0$$

החסר את 324 מ- 234 כדי לקבל -90.

$$-90+36r+2r^{2}=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$2r^{2}+36r-90=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 2 במקום a, ב- 36 במקום b, וב- -90 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

‎36 בריבוע.

$$r=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎2.

$$r=\frac{-36±\sqrt{1296-8\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎-90.

$$r=\frac{-36±\sqrt{1296+720}}{2\times 2}$$

הוסף את ‎1296 ל- ‎720.

$$r=\frac{-36±\sqrt{2016}}{2\times 2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 2016.

$$r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2.

$$r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{4}$$

כעת פתור את המשוואה r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-36 ל- ‎12\sqrt{14}.

$$r=\frac{12\sqrt{14}-36}{4}$$

חלק את ‎-36+12\sqrt{14} ב- ‎4.

$$r=3\sqrt{14}-9$$

כעת פתור את המשוואה r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎12\sqrt{14} מ- ‎-36.

$$r=\frac{-12\sqrt{14}-36}{4}$$

חלק את ‎-36-12\sqrt{14} ב- ‎4.

$$r=-3\sqrt{14}-9$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$r=3\sqrt{14}-9 r=-3\sqrt{14}-9$$

שלבים להשלמת הריבוע

השתמש בבינום של ניוטון \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(3+r\right)^{2}.

$$9+6r+r^{2}+\left(15+r\right)^{2}=18^{2}$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(15+r\right)^{2}.

$$9+6r+r^{2}+225+30r+r^{2}=18^{2}$$

חבר את ‎9 ו- ‎225 כדי לקבל ‎234.

$$234+6r+r^{2}+30r+r^{2}=18^{2}$$

כנס את ‎6r ו- ‎30r כדי לקבל ‎36r.

$$234+36r+r^{2}+r^{2}=18^{2}$$

כנס את ‎r^{2} ו- ‎r^{2} כדי לקבל ‎2r^{2}.

$$234+36r+2r^{2}=18^{2}$$

חשב את 18 בחזקת 2 וקבל 324.

$$234+36r+2r^{2}=324$$

החסר ‎234 משני האגפים.

$$36r+2r^{2}=324-234$$

החסר את 234 מ- 324 כדי לקבל 90.

$$36r+2r^{2}=90$$

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$2r^{2}+36r=90$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$\frac{2r^{2}+36r}{2}=\frac{90}{2}$$

חילוק ב- ‎2 מבטל את ההכפלה ב- ‎2.

$$r^{2}+\frac{36}{2}r=\frac{90}{2}$$

חלק את ‎36 ב- ‎2.

$$r^{2}+18r=\frac{90}{2}$$

חלק את ‎90 ב- ‎2.

$$r^{2}+18r=45$$

חלק את ‎18, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎9. לאחר מכן הוסף את הריבוע של 9 לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$r^{2}+18r+9^{2}=45+9^{2}$$

‎9 בריבוע.

$$r^{2}+18r+81=45+81$$

הוסף את ‎45 ל- ‎81.

$$r^{2}+18r+81=126$$

פרק r^{2}+18r+81 לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r+9\right)^{2}=126$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(r+9\right)^{2}}=\sqrt{126}$$

פשט.

$$r+9=3\sqrt{14} r+9=-3\sqrt{14}$$

החסר ‎9 משני אגפי המשוואה.

$$r=3\sqrt{14}-9 r=-3\sqrt{14}-9$$