פתור את (2x^2+x)^2-6x^2-3x+2=0

$$( 2 x ^ { 2 } + x ) ^ { 2 } - 6 x ^ { 2 } - 3 x + 2 = 0$$

פתור עבור x

$$x=\frac{\sqrt{17}-1}{4}\approx 0.780776406$$

$$x=\frac{-\sqrt{17}-1}{4}\approx -1.280776406$$

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$x=-1$$

שלבי פתרון

פשט.

$$4x^{4}+4x^{3}-5x^{2}-3x+2=0$$

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע 2 ו- q מחלק את המקדם המוביל 4. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±\frac{1}{2},±1,±2,±\frac{1}{4}$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=-1$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎4x^{4}+4x^{3}-5x^{2}-3x+2 ב- ‎x+1 כדי לקבל ‎4x^{3}-5x+2. פתור את המשוואה כאשר התוצאה שווה ל 0.

$$4x^{3}-5x+2=0$$

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע 2 ו- q מחלק את המקדם המוביל 4. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±\frac{1}{2},±1,±2,±\frac{1}{4}$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=\frac{1}{2}$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎4x^{3}-5x+2 ב- ‎2\left(x-\frac{1}{2}\right)=2x-1 כדי לקבל ‎2x^{2}+x-2. פתור את המשוואה כאשר התוצאה שווה ל 0.

$$2x^{2}+x-2=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎2 ב- a, את ‎1 ב- b ואת ‎-2 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-2\right)}}{2\times 2}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{-1±\sqrt{17}}{4}$$

פתור את המשוואה ‎2x^{2}+x-2=0 כאשר ± הוא סימן חיבור וכאשר ± הוא סימן חיסור.

$$x=\frac{-\sqrt{17}-1}{4} x=\frac{\sqrt{17}-1}{4}$$

פרט את כל הפתרונות שנמצאו.

$$x=-1 x=\frac{1}{2} x=\frac{-\sqrt{17}-1}{4} x=\frac{\sqrt{17}-1}{4}$$