פתור את (1+i/1-i)^6+frac{sqrt{2}+sqrt{3}i}{sqrt{3}-sqrt{2}i}

$$( \frac { 1 + i } { 1 - i } ) ^ { 6 } + \frac { \sqrt { 2 } + \sqrt { 3 } i } { \sqrt { 3 } - \sqrt { 2 } i }$$

הערך

$$-1+i$$

שלבי פתרון

הכפל גם את המונה וגם את המכנה של ‎\frac{1+i}{1-i} בצמוד המרוכב של המכנה, ‎1+i.

$$\left(\frac{\left(1+i\right)\left(1+i\right)}{\left(1-i\right)\left(1+i\right)}\right)^{6}+\frac{\sqrt{2}+i\sqrt{3}}{\sqrt{3}-i\sqrt{2}}$$

בצע את פעולות הכפל ב- ‎\frac{\left(1+i\right)\left(1+i\right)}{\left(1-i\right)\left(1+i\right)}.

$$\left(\frac{2i}{2}\right)^{6}+\frac{\sqrt{2}+i\sqrt{3}}{\sqrt{3}-i\sqrt{2}}$$

חלק את ‎2i ב- ‎2 כדי לקבל ‎i.

$$i^{6}+\frac{\sqrt{2}+i\sqrt{3}}{\sqrt{3}-i\sqrt{2}}$$

חשב את i בחזקת 6 וקבל -1.

$$-1+\frac{\sqrt{2}+i\sqrt{3}}{\sqrt{3}-i\sqrt{2}}$$

הפוך את המכנה של ‎\frac{\sqrt{2}+i\sqrt{3}}{\sqrt{3}-i\sqrt{2}} לרציונלי על-ידי הכפלת המונה והמכנה ב- ‎\sqrt{3}+i\sqrt{2}.

$$-1+\frac{\left(\sqrt{2}+i\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{3}+i\sqrt{2}\right)}{\left(\sqrt{3}-i\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+i\sqrt{2}\right)}$$

שקול את \left(\sqrt{3}-i\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+i\sqrt{2}\right). ניתן להמיר כפל להפרשי הריבועים באמצעות הכלל: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$-1+\frac{\left(\sqrt{2}+i\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{3}+i\sqrt{2}\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(-i\sqrt{2}\right)^{2}}$$

הריבוע של ‎\sqrt{3} הוא ‎3.

$$-1+\frac{\left(\sqrt{2}+i\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{3}+i\sqrt{2}\right)}{3-\left(-i\sqrt{2}\right)^{2}}$$

פיתוח ‎\left(-i\sqrt{2}\right)^{2}.

$$-1+\frac{\left(\sqrt{2}+i\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{3}+i\sqrt{2}\right)}{3-\left(-i\right)^{2}\left(\sqrt{2}\right)^{2}}$$

חשב את -i בחזקת 2 וקבל -1.

$$-1+\frac{\left(\sqrt{2}+i\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{3}+i\sqrt{2}\right)}{3-\left(-\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)}$$

הריבוע של ‎\sqrt{2} הוא ‎2.

$$-1+\frac{\left(\sqrt{2}+i\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{3}+i\sqrt{2}\right)}{3-\left(-2\right)}$$

הכפל את ‎-1 ו- ‎-2 כדי לקבל ‎2.

$$-1+\frac{\left(\sqrt{2}+i\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{3}+i\sqrt{2}\right)}{3+2}$$

חבר את ‎3 ו- ‎2 כדי לקבל ‎5.

$$-1+\frac{\left(\sqrt{2}+i\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{3}+i\sqrt{2}\right)}{5}$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את \sqrt{2}+i\sqrt{3} ב- \sqrt{3}+i\sqrt{2} ולכנס איברים דומים.

$$-1+\frac{i\left(\sqrt{2}\right)^{2}+i\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{5}$$

הריבוע של ‎\sqrt{2} הוא ‎2.

$$-1+\frac{2i+i\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{5}$$

הריבוע של ‎\sqrt{3} הוא ‎3.

$$-1+\frac{2i+3i}{5}$$

חבר את ‎2i ו- ‎3i כדי לקבל ‎5i.

$$-1+\frac{5i}{5}$$

חלק את ‎5i ב- ‎5 כדי לקבל ‎i.

$$-1+i$$

חלק ממשי

$$-1$$

שלבי פתרון

הכפל גם את המונה וגם את המכנה של ‎\frac{1+i}{1-i} בצמוד המרוכב של המכנה, ‎1+i.

$$Re(\left(\frac{\left(1+i\right)\left(1+i\right)}{\left(1-i\right)\left(1+i\right)}\right)^{6}+\frac{\sqrt{2}+i\sqrt{3}}{\sqrt{3}-i\sqrt{2}})$$

בצע את פעולות הכפל ב- ‎\frac{\left(1+i\right)\left(1+i\right)}{\left(1-i\right)\left(1+i\right)}.

$$Re(\left(\frac{2i}{2}\right)^{6}+\frac{\sqrt{2}+i\sqrt{3}}{\sqrt{3}-i\sqrt{2}})$$

חלק את ‎2i ב- ‎2 כדי לקבל ‎i.

$$Re(i^{6}+\frac{\sqrt{2}+i\sqrt{3}}{\sqrt{3}-i\sqrt{2}})$$

חשב את i בחזקת 6 וקבל -1.

$$Re(-1+\frac{\sqrt{2}+i\sqrt{3}}{\sqrt{3}-i\sqrt{2}})$$

הפוך את המכנה של ‎\frac{\sqrt{2}+i\sqrt{3}}{\sqrt{3}-i\sqrt{2}} לרציונלי על-ידי הכפלת המונה והמכנה ב- ‎\sqrt{3}+i\sqrt{2}.

$$Re(-1+\frac{\left(\sqrt{2}+i\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{3}+i\sqrt{2}\right)}{\left(\sqrt{3}-i\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+i\sqrt{2}\right)})$$

שקול את \left(\sqrt{3}-i\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+i\sqrt{2}\right). ניתן להמיר כפל להפרשי הריבועים באמצעות הכלל: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$Re(-1+\frac{\left(\sqrt{2}+i\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{3}+i\sqrt{2}\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(-i\sqrt{2}\right)^{2}})$$

הריבוע של ‎\sqrt{3} הוא ‎3.

$$Re(-1+\frac{\left(\sqrt{2}+i\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{3}+i\sqrt{2}\right)}{3-\left(-i\sqrt{2}\right)^{2}})$$

פיתוח ‎\left(-i\sqrt{2}\right)^{2}.

$$Re(-1+\frac{\left(\sqrt{2}+i\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{3}+i\sqrt{2}\right)}{3-\left(-i\right)^{2}\left(\sqrt{2}\right)^{2}})$$

חשב את -i בחזקת 2 וקבל -1.

$$Re(-1+\frac{\left(\sqrt{2}+i\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{3}+i\sqrt{2}\right)}{3-\left(-\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)})$$

הריבוע של ‎\sqrt{2} הוא ‎2.

$$Re(-1+\frac{\left(\sqrt{2}+i\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{3}+i\sqrt{2}\right)}{3-\left(-2\right)})$$

הכפל את ‎-1 ו- ‎-2 כדי לקבל ‎2.

$$Re(-1+\frac{\left(\sqrt{2}+i\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{3}+i\sqrt{2}\right)}{3+2})$$

חבר את ‎3 ו- ‎2 כדי לקבל ‎5.

$$Re(-1+\frac{\left(\sqrt{2}+i\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{3}+i\sqrt{2}\right)}{5})$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את \sqrt{2}+i\sqrt{3} ב- \sqrt{3}+i\sqrt{2} ולכנס איברים דומים.

$$Re(-1+\frac{i\left(\sqrt{2}\right)^{2}+i\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{5})$$

הריבוע של ‎\sqrt{2} הוא ‎2.

$$Re(-1+\frac{2i+i\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{5})$$

הריבוע של ‎\sqrt{3} הוא ‎3.

$$Re(-1+\frac{2i+3i}{5})$$

חבר את ‎2i ו- ‎3i כדי לקבל ‎5i.

$$Re(-1+\frac{5i}{5})$$

חלק את ‎5i ב- ‎5 כדי לקבל ‎i.

$$Re(-1+i)$$

החלק הממשי של ‎-1+i הוא ‎-1.

$$-1$$