פתור את x^4-12x^2-64

$${ x }^{ 4 } -12 { x }^{ 2 } -64$$

פרק לגורמים

$$\left(x-4\right)\left(x+4\right)\left(x^{2}+4\right)$$

שלבי פתרון

כדי לפרק את הביטוי, פתור את המשוואה שבה היא שווה ל 0.

$$x^{4}-12x^{2}-64=0$$

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע -64 ו- q מחלק את המקדם המוביל 1. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±64,±32,±16,±8,±4,±2,±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=4$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎x^{4}-12x^{2}-64 ב- ‎x-4 כדי לקבל ‎x^{3}+4x^{2}+4x+16. כדי לפרק את התוצאה, פתור את המשוואה שבה היא שווה ל 0.

$$x^{3}+4x^{2}+4x+16=0$$

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע 16 ו- q מחלק את המקדם המוביל 1. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±16,±8,±4,±2,±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=-4$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎x^{3}+4x^{2}+4x+16 ב- ‎x+4 כדי לקבל ‎x^{2}+4. כדי לפרק את התוצאה, פתור את המשוואה שבה היא שווה ל 0.

$$x^{2}+4=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎1 ב- a, את ‎0 ב- b ואת ‎4 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 4}}{2}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{0±\sqrt{-16}}{2}$$

הפולינום x^{2}+4 אינו מפורק לגורמים מכיוון שאין לו שורשים רציונליים.

$$x^{2}+4$$

שכתב את הביטוי המפורק לגורמים באמצעות השורשים שהתקבלו.

$$\left(x-4\right)\left(x+4\right)\left(x^{2}+4\right)$$

הערך

$$x^{4}-12x^{2}-64$$