פתור את x^3+x^2+x=14

$${ x }^{ 3 } + { x }^{ 2 } +x=14$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{19}i-3}{2}\approx -1.5-2.179449472i$$

$$x=2$$

$$x=\frac{-3+\sqrt{19}i}{2}\approx -1.5+2.179449472i$$

שלבי פתרון

החסר ‎14 משני האגפים.

$$x^{3}+x^{2}+x-14=0$$

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע -14 ו- q מחלק את המקדם המוביל 1. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±14,±7,±2,±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=2$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎x^{3}+x^{2}+x-14 ב- ‎x-2 כדי לקבל ‎x^{2}+3x+7. פתור את המשוואה כאשר התוצאה שווה ל 0.

$$x^{2}+3x+7=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎1 ב- a, את ‎3 ב- b ואת ‎7 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 1\times 7}}{2}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-19}}{2}$$

פתור את המשוואה ‎x^{2}+3x+7=0 כאשר ± הוא סימן חיבור וכאשר ± הוא סימן חיסור.

$$x=\frac{-\sqrt{19}i-3}{2} x=\frac{-3+\sqrt{19}i}{2}$$

פרט את כל הפתרונות שנמצאו.

$$x=2 x=\frac{-\sqrt{19}i-3}{2} x=\frac{-3+\sqrt{19}i}{2}$$

פתור עבור x

$$x=2$$

שלבי פתרון

החסר ‎14 משני האגפים.

$$x^{3}+x^{2}+x-14=0$$

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע -14 ו- q מחלק את המקדם המוביל 1. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±14,±7,±2,±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=2$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎x^{3}+x^{2}+x-14 ב- ‎x-2 כדי לקבל ‎x^{2}+3x+7. פתור את המשוואה כאשר התוצאה שווה ל 0.

$$x^{2}+3x+7=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎1 ב- a, את ‎3 ב- b ואת ‎7 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 1\times 7}}{2}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-19}}{2}$$

מאחר שהשורש הריבועי של מספר שלילי אינו מוגדר בשדה הממשי, לא קיימים פתרונות.

$$x\in \emptyset$$

פרט את כל הפתרונות שנמצאו.

$$x=2$$