פתור את x^2-8x-15=5

$${ x }^{ 2 } -8x-15=5$$

פתור עבור x

$$x=-2$$

$$x=10$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים

החסר ‎5 משני האגפים.

$$x^{2}-8x-15-5=0$$

החסר את 5 מ- -15 כדי לקבל -20.

$$x^{2}-8x-20=0$$

כדי לפתור את המשוואה, פרק את x^{2}-8x-20 לגורמים באמצעות הנוסחה x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-8 ab=-20$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -20.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -8.

$$a=-10 b=2$$

שכתב את הביטוי המפורק לגורמים \left(x+a\right)\left(x+b\right) באמצעות הערכים שהתקבלו.

$$\left(x-10\right)\left(x+2\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-10=0 ו- x+2=0.

$$x=10 x=-2$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

החסר ‎5 משני האגפים.

$$x^{2}-8x-15-5=0$$

החסר את 5 מ- -15 כדי לקבל -20.

$$x^{2}-8x-20=0$$

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- x^{2}+ax+bx-20. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-8 ab=1\left(-20\right)=-20$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -20.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -8.

$$a=-10 b=2$$

שכתב את ‎x^{2}-8x-20 כ- ‎\left(x^{2}-10x\right)+\left(2x-20\right).

$$\left(x^{2}-10x\right)+\left(2x-20\right)$$

הוצא את הגורם המשותף x בקבוצה הראשונה ואת 2 בקבוצה השניה.

$$x\left(x-10\right)+2\left(x-10\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-10 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-10\right)\left(x+2\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-10=0 ו- x+2=0.

$$x=10 x=-2$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x^{2}-8x-15=5$$

החסר ‎5 משני אגפי המשוואה.

$$x^{2}-8x-15-5=5-5$$

החסרת 5 מעצמו נותנת 0.

$$x^{2}-8x-15-5=0$$

החסר ‎5 מ- ‎-15.

$$x^{2}-8x-20=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 1 במקום a, ב- -8 במקום b, וב- -20 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\left(-20\right)}}{2}$$

‎-8 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\left(-20\right)}}{2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-20.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+80}}{2}$$

הוסף את ‎64 ל- ‎80.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{144}}{2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 144.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±12}{2}$$

ההופכי של ‎-8 הוא ‎8.

$$x=\frac{8±12}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{8±12}{2} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎8 ל- ‎12.

$$x=\frac{20}{2}$$

חלק את ‎20 ב- ‎2.

$$x=10$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{8±12}{2} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎12 מ- ‎8.

$$x=-\frac{4}{2}$$

חלק את ‎-4 ב- ‎2.

$$x=-2$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=10 x=-2$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-8x-15=5$$

הוסף ‎15 לשני אגפי המשוואה.

$$x^{2}-8x-15-\left(-15\right)=5-\left(-15\right)$$

החסרת -15 מעצמו נותנת 0.

$$x^{2}-8x=5-\left(-15\right)$$

החסר ‎-15 מ- ‎5.

$$x^{2}-8x=20$$

חלק את ‎-8, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-4. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -4 לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=20+\left(-4\right)^{2}$$

‎-4 בריבוע.

$$x^{2}-8x+16=20+16$$

הוסף את ‎20 ל- ‎16.

$$x^{2}-8x+16=36$$

פרק x^{2}-8x+16 לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-4\right)^{2}=36$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{36}$$

פשט.

$$x-4=6 x-4=-6$$

הוסף ‎4 לשני אגפי המשוואה.

$$x=10 x=-2$$