פתור את x^2+11x+28=0

$${ x }^{ 2 } +11x+28=0$$

פתור עבור x

$$x=-7$$

$$x=-4$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים

כדי לפתור את המשוואה, פרק את x^{2}+11x+28 לגורמים באמצעות הנוסחה x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=11 ab=28$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 28.

$$1,28 2,14 4,7$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+28=29 2+14=16 4+7=11$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 11.

$$a=4 b=7$$

שכתב את הביטוי המפורק לגורמים \left(x+a\right)\left(x+b\right) באמצעות הערכים שהתקבלו.

$$\left(x+4\right)\left(x+7\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x+4=0 ו- x+7=0.

$$x=-4 x=-7$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- x^{2}+ax+bx+28. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=11 ab=1\times 28=28$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 28.

$$1,28 2,14 4,7$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+28=29 2+14=16 4+7=11$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 11.

$$a=4 b=7$$

שכתב את ‎x^{2}+11x+28 כ- ‎\left(x^{2}+4x\right)+\left(7x+28\right).

$$\left(x^{2}+4x\right)+\left(7x+28\right)$$

הוצא את הגורם המשותף x בקבוצה הראשונה ואת 7 בקבוצה השניה.

$$x\left(x+4\right)+7\left(x+4\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x+4 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x+4\right)\left(x+7\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x+4=0 ו- x+7=0.

$$x=-4 x=-7$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x^{2}+11x+28=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 1 במקום a, ב- 11 במקום b, וב- 28 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 28}}{2}$$

‎11 בריבוע.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 28}}{2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎28.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-112}}{2}$$

הוסף את ‎121 ל- ‎-112.

$$x=\frac{-11±\sqrt{9}}{2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 9.

$$x=\frac{-11±3}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-11±3}{2} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-11 ל- ‎3.

$$x=-\frac{8}{2}$$

חלק את ‎-8 ב- ‎2.

$$x=-4$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-11±3}{2} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎3 מ- ‎-11.

$$x=-\frac{14}{2}$$

חלק את ‎-14 ב- ‎2.

$$x=-7$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=-4 x=-7$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+11x+28=0$$

החסר ‎28 משני אגפי המשוואה.

$$x^{2}+11x+28-28=-28$$

החסרת 28 מעצמו נותנת 0.

$$x^{2}+11x=-28$$

חלק את ‎11, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{11}{2}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{11}{2} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+11x+\left(\frac{11}{2}\right)^{2}=-28+\left(\frac{11}{2}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{11}{2} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+11x+\frac{121}{4}=-28+\frac{121}{4}$$

הוסף את ‎-28 ל- ‎\frac{121}{4}.

$$x^{2}+11x+\frac{121}{4}=\frac{9}{4}$$

פרק x^{2}+11x+\frac{121}{4} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

פשט.

$$x+\frac{11}{2}=\frac{3}{2} x+\frac{11}{2}=-\frac{3}{2}$$

החסר ‎\frac{11}{2} משני אגפי המשוואה.

$$x=-4 x=-7$$