פתור את sqrt{3x+1}-sqrt{2x-1}=1

$$\sqrt { 3 x + 1 } - \sqrt { 2 x - 1 } = 1$$

פתור עבור x

$$x=5$$

$$x=1$$

שלבי פתרון

החסר ‎-\sqrt{2x-1} משני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{3x+1}=1+\sqrt{2x-1}$$

העלה את שני אגפי המשוואה בריבוע.

$$\left(\sqrt{3x+1}\right)^{2}=\left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

חשב את \sqrt{3x+1} בחזקת 2 וקבל 3x+1.

$$3x+1=\left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}.

$$3x+1=1+2\sqrt{2x-1}+\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

חשב את \sqrt{2x-1} בחזקת 2 וקבל 2x-1.

$$3x+1=1+2\sqrt{2x-1}+2x-1$$

החסר את 1 מ- 1 כדי לקבל 0.

$$3x+1=2\sqrt{2x-1}+2x$$

החסר ‎2x משני אגפי המשוואה.

$$3x+1-2x=2\sqrt{2x-1}$$

כנס את ‎3x ו- ‎-2x כדי לקבל ‎x.

$$x+1=2\sqrt{2x-1}$$

העלה את שני אגפי המשוואה בריבוע.

$$\left(x+1\right)^{2}=\left(2\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1=\left(2\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

פיתוח ‎\left(2\sqrt{2x-1}\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1=2^{2}\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

חשב את 2 בחזקת 2 וקבל 4.

$$x^{2}+2x+1=4\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

חשב את \sqrt{2x-1} בחזקת 2 וקבל 2x-1.

$$x^{2}+2x+1=4\left(2x-1\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 4 ב- 2x-1.

$$x^{2}+2x+1=8x-4$$

החסר ‎8x משני האגפים.

$$x^{2}+2x+1-8x=-4$$

כנס את ‎2x ו- ‎-8x כדי לקבל ‎-6x.

$$x^{2}-6x+1=-4$$

הוסף ‎4 משני הצדדים.

$$x^{2}-6x+1+4=0$$

חבר את ‎1 ו- ‎4 כדי לקבל ‎5.

$$x^{2}-6x+5=0$$

כדי לפתור את המשוואה, פרק את x^{2}-6x+5 לגורמים באמצעות הנוסחה x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-6 ab=5$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. הצמד היחיד מסוג זה הוא פתרון המערכת.

$$a=-5 b=-1$$

שכתב את הביטוי המפורק לגורמים \left(x+a\right)\left(x+b\right) באמצעות הערכים שהתקבלו.

$$\left(x-5\right)\left(x-1\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-5=0 ו- x-1=0.

$$x=5 x=1$$

השתמש ב- ‎5 במקום ‎x במשוואה ‎\sqrt{3x+1}-\sqrt{2x-1}=1.

$$\sqrt{3\times 5+1}-\sqrt{2\times 5-1}=1$$

פשט. הערך x=5 פותר את המשוואה.

$$1=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום ‎x במשוואה ‎\sqrt{3x+1}-\sqrt{2x-1}=1.

$$\sqrt{3\times 1+1}-\sqrt{2\times 1-1}=1$$

פשט. הערך x=1 פותר את המשוואה.

$$1=1$$

פרט את כל הפתרונות של \sqrt{3x+1}=\sqrt{2x-1}+1.

$$x=5 x=1$$