פתור את sqrt{2x-9}=5-sqrt{x-3}

$$\sqrt { 2 x - 9 } = 5 - \sqrt { x - 3 }$$

פתור עבור x

$$x=81-10\sqrt{53}\approx 8.198901107$$

שלבי פתרון

העלה את שני אגפי המשוואה בריבוע.

$$\left(\sqrt{2x-9}\right)^{2}=\left(5-\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

חשב את \sqrt{2x-9} בחזקת 2 וקבל 2x-9.

$$2x-9=\left(5-\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(5-\sqrt{x-3}\right)^{2}.

$$2x-9=25-10\sqrt{x-3}+\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

חשב את \sqrt{x-3} בחזקת 2 וקבל x-3.

$$2x-9=25-10\sqrt{x-3}+x-3$$

החסר את 3 מ- 25 כדי לקבל 22.

$$2x-9=22-10\sqrt{x-3}+x$$

החסר ‎22+x משני אגפי המשוואה.

$$2x-9-\left(22+x\right)=-10\sqrt{x-3}$$

כדי למצוא את ההופכי של ‎22+x, מצא את ההופכי של כל איבר.

$$2x-9-22-x=-10\sqrt{x-3}$$

החסר את 22 מ- -9 כדי לקבל -31.

$$2x-31-x=-10\sqrt{x-3}$$

כנס את ‎2x ו- ‎-x כדי לקבל ‎x.

$$x-31=-10\sqrt{x-3}$$

העלה את שני אגפי המשוואה בריבוע.

$$\left(x-31\right)^{2}=\left(-10\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(x-31\right)^{2}.

$$x^{2}-62x+961=\left(-10\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

פיתוח ‎\left(-10\sqrt{x-3}\right)^{2}.

$$x^{2}-62x+961=\left(-10\right)^{2}\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

חשב את -10 בחזקת 2 וקבל 100.

$$x^{2}-62x+961=100\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

חשב את \sqrt{x-3} בחזקת 2 וקבל x-3.

$$x^{2}-62x+961=100\left(x-3\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 100 ב- x-3.

$$x^{2}-62x+961=100x-300$$

החסר ‎100x משני האגפים.

$$x^{2}-62x+961-100x=-300$$

כנס את ‎-62x ו- ‎-100x כדי לקבל ‎-162x.

$$x^{2}-162x+961=-300$$

הוסף ‎300 משני הצדדים.

$$x^{2}-162x+961+300=0$$

חבר את ‎961 ו- ‎300 כדי לקבל ‎1261.

$$x^{2}-162x+1261=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 1 במקום a, ב- -162 במקום b, וב- 1261 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-162\right)±\sqrt{\left(-162\right)^{2}-4\times 1261}}{2}$$

‎-162 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-162\right)±\sqrt{26244-4\times 1261}}{2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎1261.

$$x=\frac{-\left(-162\right)±\sqrt{26244-5044}}{2}$$

הוסף את ‎26244 ל- ‎-5044.

$$x=\frac{-\left(-162\right)±\sqrt{21200}}{2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 21200.

$$x=\frac{-\left(-162\right)±20\sqrt{53}}{2}$$

ההופכי של ‎-162 הוא ‎162.

$$x=\frac{162±20\sqrt{53}}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{162±20\sqrt{53}}{2} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎162 ל- ‎20\sqrt{53}.

$$x=\frac{20\sqrt{53}+162}{2}$$

חלק את ‎162+20\sqrt{53} ב- ‎2.

$$x=10\sqrt{53}+81$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{162±20\sqrt{53}}{2} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎20\sqrt{53} מ- ‎162.

$$x=\frac{162-20\sqrt{53}}{2}$$

חלק את ‎162-20\sqrt{53} ב- ‎2.

$$x=81-10\sqrt{53}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=10\sqrt{53}+81 x=81-10\sqrt{53}$$

השתמש ב- ‎10\sqrt{53}+81 במקום ‎x במשוואה ‎\sqrt{2x-9}=5-\sqrt{x-3}.

$$\sqrt{2\left(10\sqrt{53}+81\right)-9}=5-\sqrt{10\sqrt{53}+81-3}$$

פשט. הערך x=10\sqrt{53}+81 אינו עומד במשוואה מכיוון שצדו השמאלי והאגף השמאלי מנוגדים.

$$10+53^{\frac{1}{2}}=-53^{\frac{1}{2}}$$

השתמש ב- ‎81-10\sqrt{53} במקום ‎x במשוואה ‎\sqrt{2x-9}=5-\sqrt{x-3}.

$$\sqrt{2\left(81-10\sqrt{53}\right)-9}=5-\sqrt{81-10\sqrt{53}-3}$$

פשט. הערך x=81-10\sqrt{53} פותר את המשוואה.

$$10-53^{\frac{1}{2}}=10-53^{\frac{1}{2}}$$

למשוואה \sqrt{2x-9}=-\sqrt{x-3}+5 יש פתרון יחיד.

$$x=81-10\sqrt{53}$$