פתור את sqrt{(x-2)^2+(y-2)^2}=sqrt{(x-(-2))^2+(y-4)^2}

$$\sqrt { ( x - 2 ) ^ { 2 } + ( y - 2 ) ^ { 2 } } = \sqrt { ( x - ( - 2 ) ) ^ { 2 } + ( y - 4 ) ^ { 2 } }$$

פתור עבור x

$$x=\frac{y-3}{2}$$

שלבי פתרון

העלה את שני אגפי המשוואה בריבוע.

$$\left(\sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(x-2\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+4+\left(y-2\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(y-2\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+4+y^{2}-4y+4}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

חבר את ‎4 ו- ‎4 כדי לקבל ‎8.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+8+y^{2}-4y}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

חשב את \sqrt{x^{2}-4x+8+y^{2}-4y} בחזקת 2 וקבל x^{2}-4x+8+y^{2}-4y.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

ההופכי של ‎-2 הוא ‎2.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{\left(x+2\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+4+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(y-4\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+4+y^{2}-8y+16}\right)^{2}$$

חבר את ‎4 ו- ‎16 כדי לקבל ‎20.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+20+y^{2}-8y}\right)^{2}$$

חשב את \sqrt{x^{2}+4x+20+y^{2}-8y} בחזקת 2 וקבל x^{2}+4x+20+y^{2}-8y.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=x^{2}+4x+20+y^{2}-8y$$

החסר ‎x^{2} משני האגפים.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y-x^{2}=4x+20+y^{2}-8y$$

כנס את ‎x^{2} ו- ‎-x^{2} כדי לקבל ‎0.

$$-4x+8+y^{2}-4y=4x+20+y^{2}-8y$$

החסר ‎4x משני האגפים.

$$-4x+8+y^{2}-4y-4x=20+y^{2}-8y$$

כנס את ‎-4x ו- ‎-4x כדי לקבל ‎-8x.

$$-8x+8+y^{2}-4y=20+y^{2}-8y$$

החסר ‎8 משני האגפים.

$$-8x+y^{2}-4y=20+y^{2}-8y-8$$

החסר את 8 מ- 20 כדי לקבל 12.

$$-8x+y^{2}-4y=12+y^{2}-8y$$

החסר ‎y^{2} משני האגפים.

$$-8x-4y=12+y^{2}-8y-y^{2}$$

כנס את ‎y^{2} ו- ‎-y^{2} כדי לקבל ‎0.

$$-8x-4y=12-8y$$

הוסף ‎4y משני הצדדים.

$$-8x=12-8y+4y$$

כנס את ‎-8y ו- ‎4y כדי לקבל ‎-4y.

$$-8x=12-4y$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-8.

$$\frac{-8x}{-8}=\frac{12-4y}{-8}$$

חילוק ב- ‎-8 מבטל את ההכפלה ב- ‎-8.

$$x=\frac{12-4y}{-8}$$

חלק את ‎12-4y ב- ‎-8.

$$x=\frac{y-3}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{y-3}{2} במקום ‎x במשוואה ‎\sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}.

$$\sqrt{\left(\frac{y-3}{2}-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(\frac{y-3}{2}-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}$$

פשט. הערך x=\frac{y-3}{2} פותר את המשוואה.

$$\frac{1}{2}\left(65-30y+5y^{2}\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\left(65-30y+5y^{2}\right)^{\frac{1}{2}}$$

למשוואה \sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(y-4\right)^{2}+\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}} יש פתרון יחיד.

$$x=\frac{y-3}{2}$$

פתור עבור y

$$y=2x+3$$

שלבי פתרון

העלה את שני אגפי המשוואה בריבוע.

$$\left(\sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(x-2\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+4+\left(y-2\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(y-2\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+4+y^{2}-4y+4}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

חבר את ‎4 ו- ‎4 כדי לקבל ‎8.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+8+y^{2}-4y}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

חשב את \sqrt{x^{2}-4x+8+y^{2}-4y} בחזקת 2 וקבל x^{2}-4x+8+y^{2}-4y.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

ההופכי של ‎-2 הוא ‎2.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{\left(x+2\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+4+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(y-4\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+4+y^{2}-8y+16}\right)^{2}$$

חבר את ‎4 ו- ‎16 כדי לקבל ‎20.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+20+y^{2}-8y}\right)^{2}$$

חשב את \sqrt{x^{2}+4x+20+y^{2}-8y} בחזקת 2 וקבל x^{2}+4x+20+y^{2}-8y.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=x^{2}+4x+20+y^{2}-8y$$

החסר ‎y^{2} משני האגפים.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y-y^{2}=x^{2}+4x+20-8y$$

כנס את ‎y^{2} ו- ‎-y^{2} כדי לקבל ‎0.

$$x^{2}-4x+8-4y=x^{2}+4x+20-8y$$

הוסף ‎8y משני הצדדים.

$$x^{2}-4x+8-4y+8y=x^{2}+4x+20$$

כנס את ‎-4y ו- ‎8y כדי לקבל ‎4y.

$$x^{2}-4x+8+4y=x^{2}+4x+20$$

החסר ‎x^{2} משני האגפים.

$$-4x+8+4y=x^{2}+4x+20-x^{2}$$

כנס את ‎x^{2} ו- ‎-x^{2} כדי לקבל ‎0.

$$-4x+8+4y=4x+20$$

הוסף ‎4x משני הצדדים.

$$8+4y=4x+20+4x$$

כנס את ‎4x ו- ‎4x כדי לקבל ‎8x.

$$8+4y=8x+20$$

החסר ‎8 משני האגפים.

$$4y=8x+20-8$$

החסר את 8 מ- 20 כדי לקבל 12.

$$4y=8x+12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$\frac{4y}{4}=\frac{8x+12}{4}$$

חילוק ב- ‎4 מבטל את ההכפלה ב- ‎4.

$$y=\frac{8x+12}{4}$$

חלק את ‎8x+12 ב- ‎4.

$$y=2x+3$$

השתמש ב- ‎2x+3 במקום ‎y במשוואה ‎\sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(2x+3-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(2x+3-4\right)^{2}}$$

פשט. הערך y=2x+3 פותר את המשוואה.

$$\left(5+5x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(5+5x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}$$

למשוואה \sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(y-4\right)^{2}+\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}} יש פתרון יחיד.

$$y=2x+3$$