פתור את sqrt{(7-x)^2+(1-y)^2}=sqrt{(3-x)^2+(5-y)^2}

$$\sqrt { ( 7 - x ) ^ { 2 } + ( 1 - y ) ^ { 2 } } = \sqrt { ( 3 - x ) ^ { 2 } + ( 5 - y ) ^ { 2 } }$$

פתור עבור x

$$x=y+2$$

שלבי פתרון

העלה את שני אגפי המשוואה בריבוע.

$$\left(\sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(7-x\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{49-14x+x^{2}+\left(1-y\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(1-y\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{49-14x+x^{2}+1-2y+y^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

חבר את ‎49 ו- ‎1 כדי לקבל ‎50.

$$\left(\sqrt{50-14x+x^{2}-2y+y^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

חשב את \sqrt{50-14x+x^{2}-2y+y^{2}} בחזקת 2 וקבל 50-14x+x^{2}-2y+y^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(3-x\right)^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{9-6x+x^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(5-y\right)^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{9-6x+x^{2}+25-10y+y^{2}}\right)^{2}$$

חבר את ‎9 ו- ‎25 כדי לקבל ‎34.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{34-6x+x^{2}-10y+y^{2}}\right)^{2}$$

חשב את \sqrt{34-6x+x^{2}-10y+y^{2}} בחזקת 2 וקבל 34-6x+x^{2}-10y+y^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=34-6x+x^{2}-10y+y^{2}$$

הוסף ‎6x משני הצדדים.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}+6x=34+x^{2}-10y+y^{2}$$

כנס את ‎-14x ו- ‎6x כדי לקבל ‎-8x.

$$50-8x+x^{2}-2y+y^{2}=34+x^{2}-10y+y^{2}$$

החסר ‎x^{2} משני האגפים.

$$50-8x+x^{2}-2y+y^{2}-x^{2}=34-10y+y^{2}$$

כנס את ‎x^{2} ו- ‎-x^{2} כדי לקבל ‎0.

$$50-8x-2y+y^{2}=34-10y+y^{2}$$

החסר ‎50 משני האגפים.

$$-8x-2y+y^{2}=34-10y+y^{2}-50$$

החסר את 50 מ- 34 כדי לקבל -16.

$$-8x-2y+y^{2}=-16-10y+y^{2}$$

הוסף ‎2y משני הצדדים.

$$-8x+y^{2}=-16-10y+y^{2}+2y$$

כנס את ‎-10y ו- ‎2y כדי לקבל ‎-8y.

$$-8x+y^{2}=-16-8y+y^{2}$$

החסר ‎y^{2} משני האגפים.

$$-8x=-16-8y+y^{2}-y^{2}$$

כנס את ‎y^{2} ו- ‎-y^{2} כדי לקבל ‎0.

$$-8x=-16-8y$$

המשוואה היא בעלת צורה סטנדרטית.

$$-8x=-8y-16$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-8.

$$\frac{-8x}{-8}=\frac{-8y-16}{-8}$$

חילוק ב- ‎-8 מבטל את ההכפלה ב- ‎-8.

$$x=\frac{-8y-16}{-8}$$

חלק את ‎-16-8y ב- ‎-8.

$$x=y+2$$

השתמש ב- ‎y+2 במקום ‎x במשוואה ‎\sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}.

$$\sqrt{\left(7-\left(y+2\right)\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-\left(y+2\right)\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}$$

פשט. הערך x=y+2 פותר את המשוואה.

$$\left(2y^{2}-12y+26\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2y^{2}-12y+26\right)^{\frac{1}{2}}$$

למשוואה \sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}} יש פתרון יחיד.

$$x=y+2$$

פתור עבור y

$$y=x-2$$

שלבי פתרון

העלה את שני אגפי המשוואה בריבוע.

$$\left(\sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(7-x\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{49-14x+x^{2}+\left(1-y\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(1-y\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{49-14x+x^{2}+1-2y+y^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

חבר את ‎49 ו- ‎1 כדי לקבל ‎50.

$$\left(\sqrt{50-14x+x^{2}-2y+y^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

חשב את \sqrt{50-14x+x^{2}-2y+y^{2}} בחזקת 2 וקבל 50-14x+x^{2}-2y+y^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(3-x\right)^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{9-6x+x^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(5-y\right)^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{9-6x+x^{2}+25-10y+y^{2}}\right)^{2}$$

חבר את ‎9 ו- ‎25 כדי לקבל ‎34.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{34-6x+x^{2}-10y+y^{2}}\right)^{2}$$

חשב את \sqrt{34-6x+x^{2}-10y+y^{2}} בחזקת 2 וקבל 34-6x+x^{2}-10y+y^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=34-6x+x^{2}-10y+y^{2}$$

הוסף ‎10y משני הצדדים.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}+10y=34-6x+x^{2}+y^{2}$$

כנס את ‎-2y ו- ‎10y כדי לקבל ‎8y.

$$50-14x+x^{2}+8y+y^{2}=34-6x+x^{2}+y^{2}$$

החסר ‎y^{2} משני האגפים.

$$50-14x+x^{2}+8y+y^{2}-y^{2}=34-6x+x^{2}$$

כנס את ‎y^{2} ו- ‎-y^{2} כדי לקבל ‎0.

$$50-14x+x^{2}+8y=34-6x+x^{2}$$

החסר ‎50 משני האגפים.

$$-14x+x^{2}+8y=34-6x+x^{2}-50$$

החסר את 50 מ- 34 כדי לקבל -16.

$$-14x+x^{2}+8y=-16-6x+x^{2}$$

הוסף ‎14x משני הצדדים.

$$x^{2}+8y=-16-6x+x^{2}+14x$$

כנס את ‎-6x ו- ‎14x כדי לקבל ‎8x.

$$x^{2}+8y=-16+8x+x^{2}$$

החסר ‎x^{2} משני האגפים.

$$8y=-16+8x+x^{2}-x^{2}$$

כנס את ‎x^{2} ו- ‎-x^{2} כדי לקבל ‎0.

$$8y=-16+8x$$

המשוואה היא בעלת צורה סטנדרטית.

$$8y=8x-16$$

חלק את שני האגפים ב- ‎8.

$$\frac{8y}{8}=\frac{8x-16}{8}$$

חילוק ב- ‎8 מבטל את ההכפלה ב- ‎8.

$$y=\frac{8x-16}{8}$$

חלק את ‎-16+8x ב- ‎8.

$$y=x-2$$

השתמש ב- ‎x-2 במקום ‎y במשוואה ‎\sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}.

$$\sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-\left(x-2\right)\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-\left(x-2\right)\right)^{2}}$$

פשט. הערך y=x-2 פותר את המשוואה.

$$\left(2x^{2}-20x+58\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2x^{2}-20x+58\right)^{\frac{1}{2}}$$

למשוואה \sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}} יש פתרון יחיד.

$$y=x-2$$