פתור את {c}{x+y=12}{x=3y}

$$\left.\begin{array} { c } { x + y = 12 } \\ { x = 3 y } \end{array} \right\}$$

פתור עבור x, y

$$x=9$$

$$y=3$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎3y משני האגפים.

$$x-3y=0$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+y=12,x-3y=0$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+y=12$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$x=-y+12$$

השתמש ב- ‎-y+12 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x-3y=0.

$$-y+12-3y=0$$

הוסף את ‎-y ל- ‎-3y.

$$-4y+12=0$$

החסר ‎12 משני אגפי המשוואה.

$$-4y=-12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-4.

$$y=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום y ב- ‎x=-y+12. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-3+12$$

הוסף את ‎12 ל- ‎-3.

$$x=9$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=9,y=3$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎3y משני האגפים.

$$x-3y=0$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+y=12,x-3y=0$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\0\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\0\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-1}&-\frac{1}{-3-1}\\-\frac{1}{-3-1}&\frac{1}{-3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\0\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 12\\\frac{1}{4}\times 12\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\3\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=9,y=3$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎3y משני האגפים.

$$x-3y=0$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+y=12,x-3y=0$$

החסר את ‎x-3y=0 מ- ‎x+y=12 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$x-x+y+3y=12$$

הוסף את ‎x ל- ‎-x. האיברים ‎x ו- ‎-x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$y+3y=12$$

הוסף את ‎y ל- ‎3y.

$$4y=12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$y=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום y ב- ‎x-3y=0. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x-3\times 3=0$$

הכפל את ‎-3 ב- ‎3.

$$x-9=0$$

הוסף ‎9 לשני אגפי המשוואה.

$$x=9$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=9,y=3$$