פתור את {c}{-2(x+y)=12}{5(x+1)-4(y+3)=17}

$$\left.\begin{array} { c } { - 2 ( x + y ) = 12 } \\ { 5 ( x + 1 ) - 4 ( y + 3 ) = 17 } \end{array} \right\}$$

פתור עבור x, y

$$x=0$$

$$y=-6$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$x+y=\frac{12}{-2}$$

חלק את ‎12 ב- ‎-2 כדי לקבל ‎-6.

$$x+y=-6$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 5 ב- x+1.

$$5x+5-4\left(y+3\right)=17$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -4 ב- y+3.

$$5x+5-4y-12=17$$

החסר את 12 מ- 5 כדי לקבל -7.

$$5x-7-4y=17$$

הוסף ‎7 משני הצדדים.

$$5x-4y=17+7$$

חבר את ‎17 ו- ‎7 כדי לקבל ‎24.

$$5x-4y=24$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+y=-6,5x-4y=24$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+y=-6$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$x=-y-6$$

השתמש ב- ‎-y-6 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎5x-4y=24.

$$5\left(-y-6\right)-4y=24$$

הכפל את ‎5 ב- ‎-y-6.

$$-5y-30-4y=24$$

הוסף את ‎-5y ל- ‎-4y.

$$-9y-30=24$$

הוסף ‎30 לשני אגפי המשוואה.

$$-9y=54$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-9.

$$y=-6$$

השתמש ב- ‎-6 במקום y ב- ‎x=-y-6. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\left(-6\right)-6$$

הכפל את ‎-1 ב- ‎-6.

$$x=6-6$$

הוסף את ‎-6 ל- ‎6.

$$x=0$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=0,y=-6$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$x+y=\frac{12}{-2}$$

חלק את ‎12 ב- ‎-2 כדי לקבל ‎-6.

$$x+y=-6$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 5 ב- x+1.

$$5x+5-4\left(y+3\right)=17$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -4 ב- y+3.

$$5x+5-4y-12=17$$

החסר את 12 מ- 5 כדי לקבל -7.

$$5x-7-4y=17$$

הוסף ‎7 משני הצדדים.

$$5x-4y=17+7$$

חבר את ‎17 ו- ‎7 כדי לקבל ‎24.

$$5x-4y=24$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+y=-6,5x-4y=24$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\24\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&1\\5&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\24\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\24\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\24\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-5}&-\frac{1}{-4-5}\\-\frac{5}{-4-5}&\frac{1}{-4-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\24\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9}&\frac{1}{9}\\\frac{5}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\24\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9}\left(-6\right)+\frac{1}{9}\times 24\\\frac{5}{9}\left(-6\right)-\frac{1}{9}\times 24\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-6\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=0,y=-6$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$x+y=\frac{12}{-2}$$

חלק את ‎12 ב- ‎-2 כדי לקבל ‎-6.

$$x+y=-6$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 5 ב- x+1.

$$5x+5-4\left(y+3\right)=17$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -4 ב- y+3.

$$5x+5-4y-12=17$$

החסר את 12 מ- 5 כדי לקבל -7.

$$5x-7-4y=17$$

הוסף ‎7 משני הצדדים.

$$5x-4y=17+7$$

חבר את ‎17 ו- ‎7 כדי לקבל ‎24.

$$5x-4y=24$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+y=-6,5x-4y=24$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎5x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎5 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$5x+5y=5\left(-6\right),5x-4y=24$$

פשט.

$$5x+5y=-30,5x-4y=24$$

החסר את ‎5x-4y=24 מ- ‎5x+5y=-30 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$5x-5x+5y+4y=-30-24$$

הוסף את ‎5x ל- ‎-5x. האיברים ‎5x ו- ‎-5x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$5y+4y=-30-24$$

הוסף את ‎5y ל- ‎4y.

$$9y=-30-24$$

הוסף את ‎-30 ל- ‎-24.

$$9y=-54$$

חלק את שני האגפים ב- ‎9.

$$y=-6$$

השתמש ב- ‎-6 במקום y ב- ‎5x-4y=24. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$5x-4\left(-6\right)=24$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-6.

$$5x+24=24$$

החסר ‎24 משני אגפי המשוואה.

$$5x=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=0$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=0,y=-6$$