פתור את {l}{x+y=10}{x=63y}

$$\left. \begin{array}{l}{ x + y = 10 }\\{ x = 63 y }\end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{315}{32} = 9\frac{27}{32} = 9.84375$$

$$y=\frac{5}{32}=0.15625$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎63y משני האגפים.

$$x-63y=0$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+y=10,x-63y=0$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+y=10$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$x=-y+10$$

השתמש ב- ‎-y+10 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x-63y=0.

$$-y+10-63y=0$$

הוסף את ‎-y ל- ‎-63y.

$$-64y+10=0$$

החסר ‎10 משני אגפי המשוואה.

$$-64y=-10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-64.

$$y=\frac{5}{32}$$

השתמש ב- ‎\frac{5}{32} במקום y ב- ‎x=-y+10. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{5}{32}+10$$

הוסף את ‎10 ל- ‎-\frac{5}{32}.

$$x=\frac{315}{32}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{315}{32},y=\frac{5}{32}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎63y משני האגפים.

$$x-63y=0$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+y=10,x-63y=0$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-63\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&1\\1&-63\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-63\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-63\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-63\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-63\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-63\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{63}{-63-1}&-\frac{1}{-63-1}\\-\frac{1}{-63-1}&\frac{1}{-63-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{63}{64}&\frac{1}{64}\\\frac{1}{64}&-\frac{1}{64}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{63}{64}\times 10\\\frac{1}{64}\times 10\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{315}{32}\\\frac{5}{32}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{315}{32},y=\frac{5}{32}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎63y משני האגפים.

$$x-63y=0$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+y=10,x-63y=0$$

החסר את ‎x-63y=0 מ- ‎x+y=10 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$x-x+y+63y=10$$

הוסף את ‎x ל- ‎-x. האיברים ‎x ו- ‎-x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$y+63y=10$$

הוסף את ‎y ל- ‎63y.

$$64y=10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎64.

$$y=\frac{5}{32}$$

השתמש ב- ‎\frac{5}{32} במקום y ב- ‎x-63y=0. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x-63\times \frac{5}{32}=0$$

הכפל את ‎-63 ב- ‎\frac{5}{32}.

$$x-\frac{315}{32}=0$$

הוסף ‎\frac{315}{32} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{315}{32}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{315}{32},y=\frac{5}{32}$$