פתור את {l}{7x+2y=-33}{x+9y=65}

$$\left. \begin{array}{l}{ 7 x + 2 y = - 33 }\\{ x + 9 y = 65 }\end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-7$$

$$y=8$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$7x+2y=-33,x+9y=65$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$7x+2y=-33$$

החסר ‎2y משני אגפי המשוואה.

$$7x=-2y-33$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-2y-33\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{7} ב- ‎-2y-33.

$$x=-\frac{2}{7}y-\frac{33}{7}$$

השתמש ב- ‎\frac{-2y-33}{7} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x+9y=65.

$$-\frac{2}{7}y-\frac{33}{7}+9y=65$$

הוסף את ‎-\frac{2y}{7} ל- ‎9y.

$$\frac{61}{7}y-\frac{33}{7}=65$$

הוסף ‎\frac{33}{7} לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{61}{7}y=\frac{488}{7}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{61}{7}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=8$$

השתמש ב- ‎8 במקום y ב- ‎x=-\frac{2}{7}y-\frac{33}{7}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{2}{7}\times 8-\frac{33}{7}$$

הכפל את ‎-\frac{2}{7} ב- ‎8.

$$x=\frac{-16-33}{7}$$

הוסף את ‎-\frac{33}{7} ל- ‎-\frac{16}{7} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-7$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-7,y=8$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$7x+2y=-33,x+9y=65$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}7&2\\1&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-33\\65\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}7&2\\1&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&2\\1&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-33\\65\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-33\\65\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-33\\65\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{7\times 9-2}&-\frac{2}{7\times 9-2}\\-\frac{1}{7\times 9-2}&\frac{7}{7\times 9-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-33\\65\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{61}&-\frac{2}{61}\\-\frac{1}{61}&\frac{7}{61}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-33\\65\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{61}\left(-33\right)-\frac{2}{61}\times 65\\-\frac{1}{61}\left(-33\right)+\frac{7}{61}\times 65\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\8\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-7,y=8$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$7x+2y=-33,x+9y=65$$

כדי להפוך את ‎7x ו- ‎x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎7.

$$7x+2y=-33,7x+7\times 9y=7\times 65$$

פשט.

$$7x+2y=-33,7x+63y=455$$

החסר את ‎7x+63y=455 מ- ‎7x+2y=-33 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$7x-7x+2y-63y=-33-455$$

הוסף את ‎7x ל- ‎-7x. האיברים ‎7x ו- ‎-7x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$2y-63y=-33-455$$

הוסף את ‎2y ל- ‎-63y.

$$-61y=-33-455$$

הוסף את ‎-33 ל- ‎-455.

$$-61y=-488$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-61.

$$y=8$$

השתמש ב- ‎8 במקום y ב- ‎x+9y=65. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x+9\times 8=65$$

הכפל את ‎9 ב- ‎8.

$$x+72=65$$

החסר ‎72 משני אגפי המשוואה.

$$x=-7$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-7,y=8$$