פתור את {l}{-5x+4y=3}{x=2y-15}

$$\left. \begin{array}{l}{ - 5 x + 4 y = 3 }\\{ x = 2 y - 15 }\end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=9$$

$$y=12$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎2y משני האגפים.

$$x-2y=-15$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-5x+4y=3,x-2y=-15$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-5x+4y=3$$

החסר ‎4y משני אגפי המשוואה.

$$-5x=-4y+3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-5.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-4y+3\right)$$

הכפל את ‎-\frac{1}{5} ב- ‎-4y+3.

$$x=\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{4y-3}{5} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x-2y=-15.

$$\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}-2y=-15$$

הוסף את ‎\frac{4y}{5} ל- ‎-2y.

$$-\frac{6}{5}y-\frac{3}{5}=-15$$

הוסף ‎\frac{3}{5} לשני אגפי המשוואה.

$$-\frac{6}{5}y=-\frac{72}{5}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{6}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=12$$

השתמש ב- ‎12 במקום y ב- ‎x=\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{4}{5}\times 12-\frac{3}{5}$$

הכפל את ‎\frac{4}{5} ב- ‎12.

$$x=\frac{48-3}{5}$$

הוסף את ‎-\frac{3}{5} ל- ‎\frac{48}{5} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=9$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=9,y=12$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎2y משני האגפים.

$$x-2y=-15$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-5x+4y=3,x-2y=-15$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-5&4\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-15\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-5&4\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&4\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-15\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-15\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-15\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-5\left(-2\right)-4}&-\frac{4}{-5\left(-2\right)-4}\\-\frac{1}{-5\left(-2\right)-4}&-\frac{5}{-5\left(-2\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-15\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\\-\frac{1}{6}&-\frac{5}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-15\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 3-\frac{2}{3}\left(-15\right)\\-\frac{1}{6}\times 3-\frac{5}{6}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=9,y=12$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎2y משני האגפים.

$$x-2y=-15$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-5x+4y=3,x-2y=-15$$

כדי להפוך את ‎-5x ו- ‎x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-5.

$$-5x+4y=3,-5x-5\left(-2\right)y=-5\left(-15\right)$$

פשט.

$$-5x+4y=3,-5x+10y=75$$

החסר את ‎-5x+10y=75 מ- ‎-5x+4y=3 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-5x+5x+4y-10y=3-75$$

הוסף את ‎-5x ל- ‎5x. האיברים ‎-5x ו- ‎5x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$4y-10y=3-75$$

הוסף את ‎4y ל- ‎-10y.

$$-6y=3-75$$

הוסף את ‎3 ל- ‎-75.

$$-6y=-72$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-6.

$$y=12$$

השתמש ב- ‎12 במקום y ב- ‎x-2y=-15. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x-2\times 12=-15$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎12.

$$x-24=-15$$

הוסף ‎24 לשני אגפי המשוואה.

$$x=9$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=9,y=12$$