פתור את {r}{2x+5y=33}{x+3y=19}

$$\left. \begin{array} { r } { 2 x + 5 y = 33 } \\ { x + 3 y = 19 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=4$$

$$y=5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+5y=33,x+3y=19$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+5y=33$$

החסר ‎5y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-5y+33$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+33\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-5y+33.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{33}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{-5y+33}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x+3y=19.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{33}{2}+3y=19$$

הוסף את ‎-\frac{5y}{2} ל- ‎3y.

$$\frac{1}{2}y+\frac{33}{2}=19$$

החסר ‎\frac{33}{2} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{1}{2}y=\frac{5}{2}$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎2.

$$y=5$$

השתמש ב- ‎5 במקום y ב- ‎x=-\frac{5}{2}y+\frac{33}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{5}{2}\times 5+\frac{33}{2}$$

הכפל את ‎-\frac{5}{2} ב- ‎5.

$$x=\frac{-25+33}{2}$$

הוסף את ‎\frac{33}{2} ל- ‎-\frac{25}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=4,y=5$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x+5y=33,x+3y=19$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}33\\19\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&5\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}33\\19\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}33\\19\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}33\\19\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-5}&-\frac{5}{2\times 3-5}\\-\frac{1}{2\times 3-5}&\frac{2}{2\times 3-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}33\\19\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-5\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}33\\19\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 33-5\times 19\\-33+2\times 19\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=4,y=5$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x+5y=33,x+3y=19$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$2x+5y=33,2x+2\times 3y=2\times 19$$

פשט.

$$2x+5y=33,2x+6y=38$$

החסר את ‎2x+6y=38 מ- ‎2x+5y=33 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2x-2x+5y-6y=33-38$$

הוסף את ‎2x ל- ‎-2x. האיברים ‎2x ו- ‎-2x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$5y-6y=33-38$$

הוסף את ‎5y ל- ‎-6y.

$$-y=33-38$$

הוסף את ‎33 ל- ‎-38.

$$-y=-5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$y=5$$

השתמש ב- ‎5 במקום y ב- ‎x+3y=19. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x+3\times 5=19$$

הכפל את ‎3 ב- ‎5.

$$x+15=19$$

החסר ‎15 משני אגפי המשוואה.

$$x=4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=4,y=5$$