פתור את {l}{y=6x}{x+y+y=315.9}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 6 x } \\ { x + y + y = 315.9 } \end{array} \right.$$

פתור עבור y, x

$$x=24.3$$

$$y=145.8$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎6x משני האגפים.

$$y-6x=0$$

שקול את המשוואה השניה. כנס את ‎y ו- ‎y כדי לקבל ‎2y.

$$x+2y=315.9$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$y-6x=0,2y+x=315.9$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$y-6x=0$$

הוסף ‎6x לשני אגפי המשוואה.

$$y=6x$$

השתמש ב- ‎6x במקום ‎y במשוואה השניה, ‎2y+x=315.9.

$$2\times 6x+x=315.9$$

הכפל את ‎2 ב- ‎6x.

$$12x+x=315.9$$

הוסף את ‎12x ל- ‎x.

$$13x=315.9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎13.

$$x=24.3$$

השתמש ב- ‎24.3 במקום x ב- ‎y=6x. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=6\times 24.3$$

הכפל את ‎6 ב- ‎24.3.

$$y=145.8$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=145.8,x=24.3$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎6x משני האגפים.

$$y-6x=0$$

שקול את המשוואה השניה. כנס את ‎y ו- ‎y כדי לקבל ‎2y.

$$x+2y=315.9$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$y-6x=0,2y+x=315.9$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-6\times 2\right)}&-\frac{-6}{1-\left(-6\times 2\right)}\\-\frac{2}{1-\left(-6\times 2\right)}&\frac{1}{1-\left(-6\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{6}{13}\\-\frac{2}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{13}\times 315.9\\\frac{1}{13}\times 315.9\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{729}{5}\\\frac{243}{10}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.

$$y=\frac{729}{5},x=\frac{243}{10}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎6x משני האגפים.

$$y-6x=0$$

שקול את המשוואה השניה. כנס את ‎y ו- ‎y כדי לקבל ‎2y.

$$x+2y=315.9$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$y-6x=0,2y+x=315.9$$

כדי להפוך את ‎y ו- ‎2y לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$2y+2\left(-6\right)x=0,2y+x=315.9$$

פשט.

$$2y-12x=0,2y+x=315.9$$

החסר את ‎2y+x=315.9 מ- ‎2y-12x=0 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2y-2y-12x-x=-315.9$$

הוסף את ‎2y ל- ‎-2y. האיברים ‎2y ו- ‎-2y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-12x-x=-315.9$$

הוסף את ‎-12x ל- ‎-x.

$$-13x=-315.9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-13.

$$x=\frac{243}{10}$$

השתמש ב- ‎\frac{243}{10} במקום x ב- ‎2y+x=315.9. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$2y+\frac{243}{10}=315.9$$

החסר ‎\frac{243}{10} משני אגפי המשוואה.

$$2y=\frac{1458}{5}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$y=\frac{729}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=\frac{729}{5},x=\frac{243}{10}$$