פתור את {l}{y=2x-4}{x+2y-1=0}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 2 x - 4 } \\ { x + 2 y - 1 = 0 } \end{array} \right.$$

פתור עבור y, x

$$x = \frac{9}{5} = 1\frac{4}{5} = 1.8$$

$$y=-\frac{2}{5}=-0.4$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎2x משני האגפים.

$$y-2x=-4$$

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎1 משני הצדדים. כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו.

$$x+2y=1$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$y-2x=-4,2y+x=1$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$y-2x=-4$$

הוסף ‎2x לשני אגפי המשוואה.

$$y=2x-4$$

השתמש ב- ‎-4+2x במקום ‎y במשוואה השניה, ‎2y+x=1.

$$2\left(2x-4\right)+x=1$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-4+2x.

$$4x-8+x=1$$

הוסף את ‎4x ל- ‎x.

$$5x-8=1$$

הוסף ‎8 לשני אגפי המשוואה.

$$5x=9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{9}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{9}{5} במקום x ב- ‎y=2x-4. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=2\times \frac{9}{5}-4$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{9}{5}.

$$y=\frac{18}{5}-4$$

הוסף את ‎-4 ל- ‎\frac{18}{5}.

$$y=-\frac{2}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=-\frac{2}{5},x=\frac{9}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎2x משני האגפים.

$$y-2x=-4$$

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎1 משני הצדדים. כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו.

$$x+2y=1$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$y-2x=-4,2y+x=1$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{1-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{1-\left(-2\times 2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-4\right)+\frac{2}{5}\\-\frac{2}{5}\left(-4\right)+\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\\\frac{9}{5}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.

$$y=-\frac{2}{5},x=\frac{9}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎2x משני האגפים.

$$y-2x=-4$$

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎1 משני הצדדים. כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו.

$$x+2y=1$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$y-2x=-4,2y+x=1$$

כדי להפוך את ‎y ו- ‎2y לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$2y+2\left(-2\right)x=2\left(-4\right),2y+x=1$$

פשט.

$$2y-4x=-8,2y+x=1$$

החסר את ‎2y+x=1 מ- ‎2y-4x=-8 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2y-2y-4x-x=-8-1$$

הוסף את ‎2y ל- ‎-2y. האיברים ‎2y ו- ‎-2y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-4x-x=-8-1$$

הוסף את ‎-4x ל- ‎-x.

$$-5x=-8-1$$

הוסף את ‎-8 ל- ‎-1.

$$-5x=-9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-5.

$$x=\frac{9}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{9}{5} במקום x ב- ‎2y+x=1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$2y+\frac{9}{5}=1$$

החסר ‎\frac{9}{5} משני אגפי המשוואה.

$$2y=-\frac{4}{5}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$y=-\frac{2}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=-\frac{2}{5},x=\frac{9}{5}$$