פתור את {l}{y=x/3-3}{4x+y=-3}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { x } { 3 } - 3 } \\ { 4 x + y = - 3 } \end{array} \right.$$

פתור עבור y, x

$$x=0$$

$$y=-3$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎\frac{x}{3} משני האגפים.

$$y-\frac{x}{3}=-3$$

הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎3.

$$3y-x=-9$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3y-x=-9,y+4x=-3$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3y-x=-9$$

הוסף ‎x לשני אגפי המשוואה.

$$3y=x-9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$y=\frac{1}{3}\left(x-9\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎x-9.

$$y=\frac{1}{3}x-3$$

השתמש ב- ‎\frac{x}{3}-3 במקום ‎y במשוואה השניה, ‎y+4x=-3.

$$\frac{1}{3}x-3+4x=-3$$

הוסף את ‎\frac{x}{3} ל- ‎4x.

$$\frac{13}{3}x-3=-3$$

הוסף ‎3 לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{13}{3}x=0$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{13}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=0$$

השתמש ב- ‎0 במקום x ב- ‎y=\frac{1}{3}x-3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=-3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=-3,x=0$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎\frac{x}{3} משני האגפים.

$$y-\frac{x}{3}=-3$$

הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎3.

$$3y-x=-9$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3y-x=-9,y+4x=-3$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&-1\\1&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3\times 4-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3\times 4-\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 4-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{13}&\frac{1}{13}\\-\frac{1}{13}&\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{13}\left(-9\right)+\frac{1}{13}\left(-3\right)\\-\frac{1}{13}\left(-9\right)+\frac{3}{13}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.

$$y=-3,x=0$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎\frac{x}{3} משני האגפים.

$$y-\frac{x}{3}=-3$$

הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎3.

$$3y-x=-9$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3y-x=-9,y+4x=-3$$

כדי להפוך את ‎3y ו- ‎y לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$3y-x=-9,3y+3\times 4x=3\left(-3\right)$$

פשט.

$$3y-x=-9,3y+12x=-9$$

החסר את ‎3y+12x=-9 מ- ‎3y-x=-9 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$3y-3y-x-12x=-9+9$$

הוסף את ‎3y ל- ‎-3y. האיברים ‎3y ו- ‎-3y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-x-12x=-9+9$$

הוסף את ‎-x ל- ‎-12x.

$$-13x=-9+9$$

הוסף את ‎-9 ל- ‎9.

$$-13x=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-13.

$$x=0$$

השתמש ב- ‎0 במקום x ב- ‎y+4x=-3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=-3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=-3,x=0$$