פתור את {l}{y=x+1/2+3}{y=2x+10}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { x + 1 } { 2 } + 3 } \\ { y = 2 x + 10 } \end{array} \right.$$

פתור עבור y, x

$$x = -\frac{13}{3} = -4\frac{1}{3} \approx -4.333333333$$

$$y = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. חלק כל איבר של ‎x+1 ב- ‎2 כדי לקבל ‎\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}+3$$

חבר את ‎\frac{1}{2} ו- ‎3 כדי לקבל ‎\frac{7}{2}.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{7+x}{2} במקום ‎y במשוואה השניה, ‎y-2x=10.

$$\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}-2x=10$$

הוסף את ‎\frac{x}{2} ל- ‎-2x.

$$-\frac{3}{2}x+\frac{7}{2}=10$$

החסר ‎\frac{7}{2} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{3}{2}x=\frac{13}{2}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{3}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=-\frac{13}{3}$$

השתמש ב- ‎-\frac{13}{3} במקום x ב- ‎y=\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=\frac{1}{2}\left(-\frac{13}{3}\right)+\frac{7}{2}$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-\frac{13}{3} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$y=-\frac{13}{6}+\frac{7}{2}$$

הוסף את ‎\frac{7}{2} ל- ‎-\frac{13}{6} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$y=\frac{4}{3}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=\frac{4}{3},x=-\frac{13}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. חלק כל איבר של ‎x+1 ב- ‎2 כדי לקבל ‎\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}+3$$

חבר את ‎\frac{1}{2} ו- ‎3 כדי לקבל ‎\frac{7}{2}.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}$$

החסר ‎\frac{1}{2}x משני האגפים.

$$y-\frac{1}{2}x=\frac{7}{2}$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎2x משני האגפים.

$$y-2x=10$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$y-\frac{1}{2}x=\frac{7}{2},y-2x=10$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-\frac{1}{2}\right)}&-\frac{-\frac{1}{2}}{-2-\left(-\frac{1}{2}\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-\frac{1}{2}\right)}&\frac{1}{-2-\left(-\frac{1}{2}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\times \frac{7}{2}-\frac{1}{3}\times 10\\\frac{2}{3}\times \frac{7}{2}-\frac{2}{3}\times 10\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\\-\frac{13}{3}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.

$$y=\frac{4}{3},x=-\frac{13}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. חלק כל איבר של ‎x+1 ב- ‎2 כדי לקבל ‎\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}+3$$

חבר את ‎\frac{1}{2} ו- ‎3 כדי לקבל ‎\frac{7}{2}.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}$$

החסר ‎\frac{1}{2}x משני האגפים.

$$y-\frac{1}{2}x=\frac{7}{2}$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎2x משני האגפים.

$$y-2x=10$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$y-\frac{1}{2}x=\frac{7}{2},y-2x=10$$

החסר את ‎y-2x=10 מ- ‎y-\frac{1}{2}x=\frac{7}{2} על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$y-y-\frac{1}{2}x+2x=\frac{7}{2}-10$$

הוסף את ‎y ל- ‎-y. האיברים ‎y ו- ‎-y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-\frac{1}{2}x+2x=\frac{7}{2}-10$$

הוסף את ‎-\frac{x}{2} ל- ‎2x.

$$\frac{3}{2}x=\frac{7}{2}-10$$

הוסף את ‎\frac{7}{2} ל- ‎-10.

$$\frac{3}{2}x=-\frac{13}{2}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{3}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=-\frac{13}{3}$$

השתמש ב- ‎-\frac{13}{3} במקום x ב- ‎y-2x=10. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y-2\left(-\frac{13}{3}\right)=10$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎-\frac{13}{3}.

$$y+\frac{26}{3}=10$$

החסר ‎\frac{26}{3} משני אגפי המשוואה.

$$y=\frac{4}{3}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=\frac{4}{3},x=-\frac{13}{3}$$