פתור עבור x, y
x = \frac{21}{5} = 4\frac{1}{5} = 4.2
y = \frac{19}{5} = 3\frac{4}{5} = 3.8
גרף
שתף
הועתק ללוח
x+y=8,3x-2y=5
כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.
x+y=8
בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.
x=-y+8
החסר y משני אגפי המשוואה.
3\left(-y+8\right)-2y=5
השתמש ב- -y+8 במקום x במשוואה השניה, 3x-2y=5.
-3y+24-2y=5
הכפל את 3 ב- -y+8.
-5y+24=5
הוסף את -3y ל- -2y.
-5y=-19
החסר 24 משני אגפי המשוואה.
y=\frac{19}{5}
חלק את שני האגפים ב- -5.
x=-\frac{19}{5}+8
השתמש ב- \frac{19}{5} במקום y ב- x=-y+8. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.
x=\frac{21}{5}
הוסף את 8 ל- -\frac{19}{5}.
x=\frac{21}{5},y=\frac{19}{5}
המערכת נפתרה כעת.
x+y=8,3x-2y=5
העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.
\left(\begin{matrix}1&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)
כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.
inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)
הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&1\\3&-2\end{matrix}\right).
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)
המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)
הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-3}&-\frac{1}{-2-3}\\-\frac{3}{-2-3}&\frac{1}{-2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)
עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{3}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)
בצע את הפעולות האריתמטיות.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 8+\frac{1}{5}\times 5\\\frac{3}{5}\times 8-\frac{1}{5}\times 5\end{matrix}\right)
הכפל את המטריצות.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{21}{5}\\\frac{19}{5}\end{matrix}\right)
בצע את הפעולות האריתמטיות.
x=\frac{21}{5},y=\frac{19}{5}
חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.
x+y=8,3x-2y=5
כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.
3x+3y=3\times 8,3x-2y=5
כדי להפוך את x ו- 3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- 3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- 1.
3x+3y=24,3x-2y=5
פשט.
3x-3x+3y+2y=24-5
החסר את 3x-2y=5 מ- 3x+3y=24 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.
3y+2y=24-5
הוסף את 3x ל- -3x. האיברים 3x ו- -3x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.
5y=24-5
הוסף את 3y ל- 2y.
5y=19
הוסף את 24 ל- -5.
y=\frac{19}{5}
חלק את שני האגפים ב- 5.
3x-2\times \frac{19}{5}=5
השתמש ב- \frac{19}{5} במקום y ב- 3x-2y=5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.
3x-\frac{38}{5}=5
הכפל את -2 ב- \frac{19}{5}.
3x=\frac{63}{5}
הוסף \frac{38}{5} לשני אגפי המשוואה.
x=\frac{21}{5}
חלק את שני האגפים ב- 3.
x=\frac{21}{5},y=\frac{19}{5}
המערכת נפתרה כעת.
דוגמאות
משוואה ממעלה שנייה
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
טריגונומטריה
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
משוואה לינארית
y = 3x + 4
אריתמטיקה
699 * 533
מטריצה
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
משוואה בו-זמנית
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
גזירה
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
אינטגרציה
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
גבולות
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}