פתור את {l}{x+y=5y}{x+8y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 5 y } \\ { x + 8 y = 9 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=3$$

$$y=\frac{3}{4}=0.75$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎5y משני האגפים.

$$x+y-5y=0$$

כנס את ‎y ו- ‎-5y כדי לקבל ‎-4y.

$$x-4y=0$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x-4y=0,x+8y=9$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x-4y=0$$

הוסף ‎4y לשני אגפי המשוואה.

$$x=4y$$

השתמש ב- ‎4y במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x+8y=9.

$$4y+8y=9$$

הוסף את ‎4y ל- ‎8y.

$$12y=9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎12.

$$y=\frac{3}{4}$$

השתמש ב- ‎\frac{3}{4} במקום y ב- ‎x=4y. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=4\times \frac{3}{4}$$

הכפל את ‎4 ב- ‎\frac{3}{4}.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=\frac{3}{4}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎5y משני האגפים.

$$x+y-5y=0$$

כנס את ‎y ו- ‎-5y כדי לקבל ‎-4y.

$$x-4y=0$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x-4y=0,x+8y=9$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\1&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-4\\1&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\1&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\9\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\9\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{8-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{8-\left(-4\right)}&\frac{1}{8-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\9\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 9\\\frac{1}{12}\times 9\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\\frac{3}{4}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=3,y=\frac{3}{4}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎5y משני האגפים.

$$x+y-5y=0$$

כנס את ‎y ו- ‎-5y כדי לקבל ‎-4y.

$$x-4y=0$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x-4y=0,x+8y=9$$

החסר את ‎x+8y=9 מ- ‎x-4y=0 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$x-x-4y-8y=-9$$

הוסף את ‎x ל- ‎-x. האיברים ‎x ו- ‎-x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-4y-8y=-9$$

הוסף את ‎-4y ל- ‎-8y.

$$-12y=-9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-12.

$$y=\frac{3}{4}$$

השתמש ב- ‎\frac{3}{4} במקום y ב- ‎x+8y=9. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x+8\times \frac{3}{4}=9$$

הכפל את ‎8 ב- ‎\frac{3}{4}.

$$x+6=9$$

החסר ‎6 משני אגפי המשוואה.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=\frac{3}{4}$$