פתור את {l}{x+y=100}{x=4y+25}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 100 } \\ { x = 4 y + 25 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=85$$

$$y=15$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎4y משני האגפים.

$$x-4y=25$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+y=100,x-4y=25$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+y=100$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$x=-y+100$$

השתמש ב- ‎-y+100 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x-4y=25.

$$-y+100-4y=25$$

הוסף את ‎-y ל- ‎-4y.

$$-5y+100=25$$

החסר ‎100 משני אגפי המשוואה.

$$-5y=-75$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-5.

$$y=15$$

השתמש ב- ‎15 במקום y ב- ‎x=-y+100. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-15+100$$

הוסף את ‎100 ל- ‎-15.

$$x=85$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=85,y=15$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎4y משני האגפים.

$$x-4y=25$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+y=100,x-4y=25$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\25\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&1\\1&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\25\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\25\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\25\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-1}&-\frac{1}{-4-1}\\-\frac{1}{-4-1}&\frac{1}{-4-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\25\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\25\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\times 100+\frac{1}{5}\times 25\\\frac{1}{5}\times 100-\frac{1}{5}\times 25\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}85\\15\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=85,y=15$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎4y משני האגפים.

$$x-4y=25$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+y=100,x-4y=25$$

החסר את ‎x-4y=25 מ- ‎x+y=100 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$x-x+y+4y=100-25$$

הוסף את ‎x ל- ‎-x. האיברים ‎x ו- ‎-x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$y+4y=100-25$$

הוסף את ‎y ל- ‎4y.

$$5y=100-25$$

הוסף את ‎100 ל- ‎-25.

$$5y=75$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$y=15$$

השתמש ב- ‎15 במקום y ב- ‎x-4y=25. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x-4\times 15=25$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎15.

$$x-60=25$$

הוסף ‎60 לשני אגפי המשוואה.

$$x=85$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=85,y=15$$