פתור את {l}{x+5y=6}{3x-y=0}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 5 y = 6 } \\ { 3 x - y = 0 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=\frac{3}{8}=0.375$$

$$y = \frac{9}{8} = 1\frac{1}{8} = 1.125$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+5y=6,3x-y=0$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+5y=6$$

החסר ‎5y משני אגפי המשוואה.

$$x=-5y+6$$

השתמש ב- ‎-5y+6 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x-y=0.

$$3\left(-5y+6\right)-y=0$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-5y+6.

$$-15y+18-y=0$$

הוסף את ‎-15y ל- ‎-y.

$$-16y+18=0$$

החסר ‎18 משני אגפי המשוואה.

$$-16y=-18$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-16.

$$y=\frac{9}{8}$$

השתמש ב- ‎\frac{9}{8} במקום y ב- ‎x=-5y+6. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-5\times \frac{9}{8}+6$$

הכפל את ‎-5 ב- ‎\frac{9}{8}.

$$x=-\frac{45}{8}+6$$

הוסף את ‎6 ל- ‎-\frac{45}{8}.

$$x=\frac{3}{8}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{3}{8},y=\frac{9}{8}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+5y=6,3x-y=0$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&5\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&5\\3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-5\times 3}&-\frac{5}{-1-5\times 3}\\-\frac{3}{-1-5\times 3}&\frac{1}{-1-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{16}&\frac{5}{16}\\\frac{3}{16}&-\frac{1}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{16}\times 6\\\frac{3}{16}\times 6\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\\\frac{9}{8}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{3}{8},y=\frac{9}{8}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+5y=6,3x-y=0$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$3x+3\times 5y=3\times 6,3x-y=0$$

פשט.

$$3x+15y=18,3x-y=0$$

החסר את ‎3x-y=0 מ- ‎3x+15y=18 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$3x-3x+15y+y=18$$

הוסף את ‎3x ל- ‎-3x. האיברים ‎3x ו- ‎-3x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$15y+y=18$$

הוסף את ‎15y ל- ‎y.

$$16y=18$$

חלק את שני האגפים ב- ‎16.

$$y=\frac{9}{8}$$

השתמש ב- ‎\frac{9}{8} במקום y ב- ‎3x-y=0. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x-\frac{9}{8}=0$$

הוסף ‎\frac{9}{8} לשני אגפי המשוואה.

$$3x=\frac{9}{8}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{3}{8}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{3}{8},y=\frac{9}{8}$$