פתור את {l}{x+3y=6}{2x+2y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 3 y = 6 } \\ { 2 x + 2 y = 8 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=3$$

$$y=1$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+3y=6,2x+2y=8$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+3y=6$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$x=-3y+6$$

השתמש ב- ‎-3y+6 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x+2y=8.

$$2\left(-3y+6\right)+2y=8$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-3y+6.

$$-6y+12+2y=8$$

הוסף את ‎-6y ל- ‎2y.

$$-4y+12=8$$

החסר ‎12 משני אגפי המשוואה.

$$-4y=-4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-4.

$$y=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום y ב- ‎x=-3y+6. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-3+6$$

הוסף את ‎6 ל- ‎-3.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=1$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+3y=6,2x+2y=8$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&3\\2&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-3\times 2}&-\frac{3}{2-3\times 2}\\-\frac{2}{2-3\times 2}&\frac{1}{2-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 6+\frac{3}{4}\times 8\\\frac{1}{2}\times 6-\frac{1}{4}\times 8\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=3,y=1$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+3y=6,2x+2y=8$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$2x+2\times 3y=2\times 6,2x+2y=8$$

פשט.

$$2x+6y=12,2x+2y=8$$

החסר את ‎2x+2y=8 מ- ‎2x+6y=12 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2x-2x+6y-2y=12-8$$

הוסף את ‎2x ל- ‎-2x. האיברים ‎2x ו- ‎-2x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$6y-2y=12-8$$

הוסף את ‎6y ל- ‎-2y.

$$4y=12-8$$

הוסף את ‎12 ל- ‎-8.

$$4y=4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$y=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום y ב- ‎2x+2y=8. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x+2=8$$

החסר ‎2 משני אגפי המשוואה.

$$2x=6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=1$$