פתור את {l}{x+2y=3}{2x+5y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 3 } \\ { 2 x + 5 y = 4 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=7$$

$$y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+2y=3,2x+5y=4$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+2y=3$$

החסר ‎2y משני אגפי המשוואה.

$$x=-2y+3$$

השתמש ב- ‎-2y+3 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x+5y=4.

$$2\left(-2y+3\right)+5y=4$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-2y+3.

$$-4y+6+5y=4$$

הוסף את ‎-4y ל- ‎5y.

$$y+6=4$$

החסר ‎6 משני אגפי המשוואה.

$$y=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום y ב- ‎x=-2y+3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-2\left(-2\right)+3$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎-2.

$$x=4+3$$

הוסף את ‎3 ל- ‎4.

$$x=7$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=7,y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+2y=3,2x+5y=4$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&2\\2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-2\times 2}&-\frac{2}{5-2\times 2}\\-\frac{2}{5-2\times 2}&\frac{1}{5-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&-2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 3-2\times 4\\-2\times 3+4\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=7,y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+2y=3,2x+5y=4$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$2x+2\times 2y=2\times 3,2x+5y=4$$

פשט.

$$2x+4y=6,2x+5y=4$$

החסר את ‎2x+5y=4 מ- ‎2x+4y=6 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2x-2x+4y-5y=6-4$$

הוסף את ‎2x ל- ‎-2x. האיברים ‎2x ו- ‎-2x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$4y-5y=6-4$$

הוסף את ‎4y ל- ‎-5y.

$$-y=6-4$$

הוסף את ‎6 ל- ‎-4.

$$-y=2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$y=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום y ב- ‎2x+5y=4. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x+5\left(-2\right)=4$$

הכפל את ‎5 ב- ‎-2.

$$2x-10=4$$

הוסף ‎10 לשני אגפי המשוואה.

$$2x=14$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=7$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=7,y=-2$$