פתור את {l}{adiv4-12=b}{adiv5=b}

$$\left. \begin{array} { l } { a \div 4 - 12 = b } \\ { a \div 5 = b } \end{array} \right.$$

פתור עבור a, b

$$a=240$$

$$b=48$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎b משני האגפים.

$$\frac{a}{4}-12-b=0$$

הוסף ‎12 משני הצדדים. כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו.

$$\frac{a}{4}-b=12$$

הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎4.

$$a-4b=48$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎b משני האגפים.

$$\frac{a}{5}-b=0$$

הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎5.

$$a-5b=0$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$a-4b=48,a-5b=0$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור a על-ידי בידוד a בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$a-4b=48$$

הוסף ‎4b לשני אגפי המשוואה.

$$a=4b+48$$

השתמש ב- ‎48+4b במקום ‎a במשוואה השניה, ‎a-5b=0.

$$4b+48-5b=0$$

הוסף את ‎4b ל- ‎-5b.

$$-b+48=0$$

החסר ‎48 משני אגפי המשוואה.

$$-b=-48$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$b=48$$

השתמש ב- ‎48 במקום b ב- ‎a=4b+48. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את a ישירות.

$$a=4\times 48+48$$

הכפל את ‎4 ב- ‎48.

$$a=192+48$$

הוסף את ‎48 ל- ‎192.

$$a=240$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=240,b=48$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎b משני האגפים.

$$\frac{a}{4}-12-b=0$$

הוסף ‎12 משני הצדדים. כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו.

$$\frac{a}{4}-b=12$$

הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎4.

$$a-4b=48$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎b משני האגפים.

$$\frac{a}{5}-b=0$$

הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎5.

$$a-5b=0$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$a-4b=48,a-5b=0$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}48\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-4\\1&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\0\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\0\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-5-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{-5-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{-5-\left(-4\right)}&\frac{1}{-5-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\0\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&-4\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 48\\48\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}240\\48\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה a ו- b.

$$a=240,b=48$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎b משני האגפים.

$$\frac{a}{4}-12-b=0$$

הוסף ‎12 משני הצדדים. כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו.

$$\frac{a}{4}-b=12$$

הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎4.

$$a-4b=48$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎b משני האגפים.

$$\frac{a}{5}-b=0$$

הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎5.

$$a-5b=0$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$a-4b=48,a-5b=0$$

החסר את ‎a-5b=0 מ- ‎a-4b=48 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$a-a-4b+5b=48$$

הוסף את ‎a ל- ‎-a. האיברים ‎a ו- ‎-a מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-4b+5b=48$$

הוסף את ‎-4b ל- ‎5b.

$$b=48$$

השתמש ב- ‎48 במקום b ב- ‎a-5b=0. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את a ישירות.

$$a-5\times 48=0$$

הכפל את ‎-5 ב- ‎48.

$$a-240=0$$

הוסף ‎240 לשני אגפי המשוואה.

$$a=240$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=240,b=48$$