פתור את {l}{a=15-2b}{2a-5b=15-2a}

$$\left. \begin{array} { l } { a = 15 - 2 b } \\ { 2 a - 5 b = 15 - 2 a } \end{array} \right.$$

פתור עבור a, b

$$a = \frac{105}{13} = 8\frac{1}{13} \approx 8.076923077$$

$$b = \frac{45}{13} = 3\frac{6}{13} \approx 3.461538462$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. הוסף ‎2b משני הצדדים.

$$a+2b=15$$

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎2a משני הצדדים.

$$2a-5b+2a=15$$

כנס את ‎2a ו- ‎2a כדי לקבל ‎4a.

$$4a-5b=15$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$a+2b=15,4a-5b=15$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור a על-ידי בידוד a בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$a+2b=15$$

החסר ‎2b משני אגפי המשוואה.

$$a=-2b+15$$

השתמש ב- ‎-2b+15 במקום ‎a במשוואה השניה, ‎4a-5b=15.

$$4\left(-2b+15\right)-5b=15$$

הכפל את ‎4 ב- ‎-2b+15.

$$-8b+60-5b=15$$

הוסף את ‎-8b ל- ‎-5b.

$$-13b+60=15$$

החסר ‎60 משני אגפי המשוואה.

$$-13b=-45$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-13.

$$b=\frac{45}{13}$$

השתמש ב- ‎\frac{45}{13} במקום b ב- ‎a=-2b+15. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את a ישירות.

$$a=-2\times \frac{45}{13}+15$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎\frac{45}{13}.

$$a=-\frac{90}{13}+15$$

הוסף את ‎15 ל- ‎-\frac{90}{13}.

$$a=\frac{105}{13}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=\frac{105}{13},b=\frac{45}{13}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. הוסף ‎2b משני הצדדים.

$$a+2b=15$$

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎2a משני הצדדים.

$$2a-5b+2a=15$$

כנס את ‎2a ו- ‎2a כדי לקבל ‎4a.

$$4a-5b=15$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$a+2b=15,4a-5b=15$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-5-2\times 4}&-\frac{2}{-5-2\times 4}\\-\frac{4}{-5-2\times 4}&\frac{1}{-5-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{13}&\frac{2}{13}\\\frac{4}{13}&-\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{13}\times 15+\frac{2}{13}\times 15\\\frac{4}{13}\times 15-\frac{1}{13}\times 15\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{105}{13}\\\frac{45}{13}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה a ו- b.

$$a=\frac{105}{13},b=\frac{45}{13}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. הוסף ‎2b משני הצדדים.

$$a+2b=15$$

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎2a משני הצדדים.

$$2a-5b+2a=15$$

כנס את ‎2a ו- ‎2a כדי לקבל ‎4a.

$$4a-5b=15$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$a+2b=15,4a-5b=15$$

כדי להפוך את ‎a ו- ‎4a לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$4a+4\times 2b=4\times 15,4a-5b=15$$

פשט.

$$4a+8b=60,4a-5b=15$$

החסר את ‎4a-5b=15 מ- ‎4a+8b=60 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$4a-4a+8b+5b=60-15$$

הוסף את ‎4a ל- ‎-4a. האיברים ‎4a ו- ‎-4a מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$8b+5b=60-15$$

הוסף את ‎8b ל- ‎5b.

$$13b=60-15$$

הוסף את ‎60 ל- ‎-15.

$$13b=45$$

חלק את שני האגפים ב- ‎13.

$$b=\frac{45}{13}$$

השתמש ב- ‎\frac{45}{13} במקום b ב- ‎4a-5b=15. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את a ישירות.

$$4a-5\times \frac{45}{13}=15$$

הכפל את ‎-5 ב- ‎\frac{45}{13}.

$$4a-\frac{225}{13}=15$$

הוסף ‎\frac{225}{13} לשני אגפי המשוואה.

$$4a=\frac{420}{13}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$a=\frac{105}{13}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=\frac{105}{13},b=\frac{45}{13}$$