פתור את {l}{8x-2y=-25}{-x-5y=-17}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x - 2 y = - 25 } \\ { - x - 5 y = - 17 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = -\frac{13}{6} = -2\frac{1}{6} \approx -2.166666667$$

$$y = \frac{23}{6} = 3\frac{5}{6} \approx 3.833333333$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$8x-2y=-25,-x-5y=-17$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$8x-2y=-25$$

הוסף ‎2y לשני אגפי המשוואה.

$$8x=2y-25$$

חלק את שני האגפים ב- ‎8.

$$x=\frac{1}{8}\left(2y-25\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{8} ב- ‎2y-25.

$$x=\frac{1}{4}y-\frac{25}{8}$$

השתמש ב- ‎\frac{y}{4}-\frac{25}{8} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-x-5y=-17.

$$-\left(\frac{1}{4}y-\frac{25}{8}\right)-5y=-17$$

הכפל את ‎-1 ב- ‎\frac{y}{4}-\frac{25}{8}.

$$-\frac{1}{4}y+\frac{25}{8}-5y=-17$$

הוסף את ‎-\frac{y}{4} ל- ‎-5y.

$$-\frac{21}{4}y+\frac{25}{8}=-17$$

החסר ‎\frac{25}{8} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{21}{4}y=-\frac{161}{8}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{21}{4}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{23}{6}$$

השתמש ב- ‎\frac{23}{6} במקום y ב- ‎x=\frac{1}{4}y-\frac{25}{8}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{1}{4}\times \frac{23}{6}-\frac{25}{8}$$

הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎\frac{23}{6} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{23}{24}-\frac{25}{8}$$

הוסף את ‎-\frac{25}{8} ל- ‎\frac{23}{24} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{13}{6}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{13}{6},y=\frac{23}{6}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$8x-2y=-25,-x-5y=-17$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}8&-2\\-1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-25\\-17\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}8&-2\\-1&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-2\\-1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-2\\-1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-2\\-1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-25\\-17\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-2\\-1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-25\\-17\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-2\\-1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-25\\-17\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8\left(-5\right)-\left(-2\left(-1\right)\right)}&-\frac{-2}{8\left(-5\right)-\left(-2\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{8\left(-5\right)-\left(-2\left(-1\right)\right)}&\frac{8}{8\left(-5\right)-\left(-2\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-25\\-17\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{42}&-\frac{1}{21}\\-\frac{1}{42}&-\frac{4}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-25\\-17\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{42}\left(-25\right)-\frac{1}{21}\left(-17\right)\\-\frac{1}{42}\left(-25\right)-\frac{4}{21}\left(-17\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{6}\\\frac{23}{6}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-\frac{13}{6},y=\frac{23}{6}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$8x-2y=-25,-x-5y=-17$$

כדי להפוך את ‎8x ו- ‎-x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎8.

$$-8x-\left(-2y\right)=-\left(-25\right),8\left(-1\right)x+8\left(-5\right)y=8\left(-17\right)$$

פשט.

$$-8x+2y=25,-8x-40y=-136$$

החסר את ‎-8x-40y=-136 מ- ‎-8x+2y=25 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-8x+8x+2y+40y=25+136$$

הוסף את ‎-8x ל- ‎8x. האיברים ‎-8x ו- ‎8x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$2y+40y=25+136$$

הוסף את ‎2y ל- ‎40y.

$$42y=25+136$$

הוסף את ‎25 ל- ‎136.

$$42y=161$$

חלק את שני האגפים ב- ‎42.

$$y=\frac{23}{6}$$

השתמש ב- ‎\frac{23}{6} במקום y ב- ‎-x-5y=-17. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-x-5\times \frac{23}{6}=-17$$

הכפל את ‎-5 ב- ‎\frac{23}{6}.

$$-x-\frac{115}{6}=-17$$

הוסף ‎\frac{115}{6} לשני אגפי המשוואה.

$$-x=\frac{13}{6}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$x=-\frac{13}{6}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{13}{6},y=\frac{23}{6}$$