פתור את {l}{8x+7y=1}{5x+6y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x + 7 y = 1 } \\ { 5 x + 6 y = 1 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-\frac{1}{13}\approx -0.076923077$$

$$y=\frac{3}{13}\approx 0.230769231$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$8x+7y=1,5x+6y=1$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$8x+7y=1$$

החסר ‎7y משני אגפי המשוואה.

$$8x=-7y+1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-7y+1\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{8} ב- ‎-7y+1.

$$x=-\frac{7}{8}y+\frac{1}{8}$$

השתמש ב- ‎\frac{-7y+1}{8} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎5x+6y=1.

$$5\left(-\frac{7}{8}y+\frac{1}{8}\right)+6y=1$$

הכפל את ‎5 ב- ‎\frac{-7y+1}{8}.

$$-\frac{35}{8}y+\frac{5}{8}+6y=1$$

הוסף את ‎-\frac{35y}{8} ל- ‎6y.

$$\frac{13}{8}y+\frac{5}{8}=1$$

החסר ‎\frac{5}{8} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{13}{8}y=\frac{3}{8}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{13}{8}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{3}{13}$$

השתמש ב- ‎\frac{3}{13} במקום y ב- ‎x=-\frac{7}{8}y+\frac{1}{8}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{7}{8}\times \frac{3}{13}+\frac{1}{8}$$

הכפל את ‎-\frac{7}{8} ב- ‎\frac{3}{13} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{21}{104}+\frac{1}{8}$$

הוסף את ‎\frac{1}{8} ל- ‎-\frac{21}{104} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{1}{13}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{1}{13},y=\frac{3}{13}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$8x+7y=1,5x+6y=1$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}8&7\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}8&7\\5&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&7\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{8\times 6-7\times 5}&-\frac{7}{8\times 6-7\times 5}\\-\frac{5}{8\times 6-7\times 5}&\frac{8}{8\times 6-7\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{13}&-\frac{7}{13}\\-\frac{5}{13}&\frac{8}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6-7}{13}\\\frac{-5+8}{13}\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\\\frac{3}{13}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-\frac{1}{13},y=\frac{3}{13}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$8x+7y=1,5x+6y=1$$

כדי להפוך את ‎8x ו- ‎5x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎5 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎8.

$$5\times 8x+5\times 7y=5,8\times 5x+8\times 6y=8$$

פשט.

$$40x+35y=5,40x+48y=8$$

החסר את ‎40x+48y=8 מ- ‎40x+35y=5 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$40x-40x+35y-48y=5-8$$

הוסף את ‎40x ל- ‎-40x. האיברים ‎40x ו- ‎-40x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$35y-48y=5-8$$

הוסף את ‎35y ל- ‎-48y.

$$-13y=5-8$$

הוסף את ‎5 ל- ‎-8.

$$-13y=-3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-13.

$$y=\frac{3}{13}$$

השתמש ב- ‎\frac{3}{13} במקום y ב- ‎5x+6y=1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$5x+6\times \frac{3}{13}=1$$

הכפל את ‎6 ב- ‎\frac{3}{13}.

$$5x+\frac{18}{13}=1$$

החסר ‎\frac{18}{13} משני אגפי המשוואה.

$$5x=-\frac{5}{13}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=-\frac{1}{13}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{1}{13},y=\frac{3}{13}$$