פתור את {l}{6x-5y=-36}{-7x+2y=39}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x - 5 y = - 36 } \\ { - 7 x + 2 y = 39 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = -\frac{123}{23} = -5\frac{8}{23} \approx -5.347826087$$

$$y=\frac{18}{23}\approx 0.782608696$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$6x-5y=-36,-7x+2y=39$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$6x-5y=-36$$

הוסף ‎5y לשני אגפי המשוואה.

$$6x=5y-36$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$x=\frac{1}{6}\left(5y-36\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{6} ב- ‎5y-36.

$$x=\frac{5}{6}y-6$$

השתמש ב- ‎\frac{5y}{6}-6 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-7x+2y=39.

$$-7\left(\frac{5}{6}y-6\right)+2y=39$$

הכפל את ‎-7 ב- ‎\frac{5y}{6}-6.

$$-\frac{35}{6}y+42+2y=39$$

הוסף את ‎-\frac{35y}{6} ל- ‎2y.

$$-\frac{23}{6}y+42=39$$

החסר ‎42 משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{23}{6}y=-3$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{23}{6}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{18}{23}$$

השתמש ב- ‎\frac{18}{23} במקום y ב- ‎x=\frac{5}{6}y-6. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{5}{6}\times \frac{18}{23}-6$$

הכפל את ‎\frac{5}{6} ב- ‎\frac{18}{23} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{15}{23}-6$$

הוסף את ‎-6 ל- ‎\frac{15}{23}.

$$x=-\frac{123}{23}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{123}{23},y=\frac{18}{23}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$6x-5y=-36,-7x+2y=39$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}6&-5\\-7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-36\\39\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}6&-5\\-7&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-5\\-7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\39\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\39\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\39\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{6\times 2-\left(-5\left(-7\right)\right)}&-\frac{-5}{6\times 2-\left(-5\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{6\times 2-\left(-5\left(-7\right)\right)}&\frac{6}{6\times 2-\left(-5\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-36\\39\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{23}&-\frac{5}{23}\\-\frac{7}{23}&-\frac{6}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-36\\39\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{23}\left(-36\right)-\frac{5}{23}\times 39\\-\frac{7}{23}\left(-36\right)-\frac{6}{23}\times 39\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{123}{23}\\\frac{18}{23}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-\frac{123}{23},y=\frac{18}{23}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$6x-5y=-36,-7x+2y=39$$

כדי להפוך את ‎6x ו- ‎-7x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-7 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎6.

$$-7\times 6x-7\left(-5\right)y=-7\left(-36\right),6\left(-7\right)x+6\times 2y=6\times 39$$

פשט.

$$-42x+35y=252,-42x+12y=234$$

החסר את ‎-42x+12y=234 מ- ‎-42x+35y=252 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-42x+42x+35y-12y=252-234$$

הוסף את ‎-42x ל- ‎42x. האיברים ‎-42x ו- ‎42x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$35y-12y=252-234$$

הוסף את ‎35y ל- ‎-12y.

$$23y=252-234$$

הוסף את ‎252 ל- ‎-234.

$$23y=18$$

חלק את שני האגפים ב- ‎23.

$$y=\frac{18}{23}$$

השתמש ב- ‎\frac{18}{23} במקום y ב- ‎-7x+2y=39. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-7x+2\times \frac{18}{23}=39$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{18}{23}.

$$-7x+\frac{36}{23}=39$$

החסר ‎\frac{36}{23} משני אגפי המשוואה.

$$-7x=\frac{861}{23}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-7.

$$x=-\frac{123}{23}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{123}{23},y=\frac{18}{23}$$