פתור את {l}{6x+3y=24}{7x+6y=33}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 3 y = 24 } \\ { 7 x + 6 y = 33 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=3$$

$$y=2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$6x+3y=24,7x+6y=33$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$6x+3y=24$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$6x=-3y+24$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-3y+24\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{6} ב- ‎-3y+24.

$$x=-\frac{1}{2}y+4$$

השתמש ב- ‎-\frac{y}{2}+4 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎7x+6y=33.

$$7\left(-\frac{1}{2}y+4\right)+6y=33$$

הכפל את ‎7 ב- ‎-\frac{y}{2}+4.

$$-\frac{7}{2}y+28+6y=33$$

הוסף את ‎-\frac{7y}{2} ל- ‎6y.

$$\frac{5}{2}y+28=33$$

החסר ‎28 משני אגפי המשוואה.

$$\frac{5}{2}y=5$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{5}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{2}y+4. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{2}\times 2+4$$

הכפל את ‎-\frac{1}{2} ב- ‎2.

$$x=-1+4$$

הוסף את ‎4 ל- ‎-1.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$6x+3y=24,7x+6y=33$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}6&3\\7&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\33\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}6&3\\7&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\7&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&3\\7&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\7&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\33\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\7&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\33\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\7&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\33\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{6\times 6-3\times 7}&-\frac{3}{6\times 6-3\times 7}\\-\frac{7}{6\times 6-3\times 7}&\frac{6}{6\times 6-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\33\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{7}{15}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\33\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 24-\frac{1}{5}\times 33\\-\frac{7}{15}\times 24+\frac{2}{5}\times 33\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=3,y=2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$6x+3y=24,7x+6y=33$$

כדי להפוך את ‎6x ו- ‎7x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎7 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎6.

$$7\times 6x+7\times 3y=7\times 24,6\times 7x+6\times 6y=6\times 33$$

פשט.

$$42x+21y=168,42x+36y=198$$

החסר את ‎42x+36y=198 מ- ‎42x+21y=168 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$42x-42x+21y-36y=168-198$$

הוסף את ‎42x ל- ‎-42x. האיברים ‎42x ו- ‎-42x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$21y-36y=168-198$$

הוסף את ‎21y ל- ‎-36y.

$$-15y=168-198$$

הוסף את ‎168 ל- ‎-198.

$$-15y=-30$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-15.

$$y=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום y ב- ‎7x+6y=33. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$7x+6\times 2=33$$

הכפל את ‎6 ב- ‎2.

$$7x+12=33$$

החסר ‎12 משני אגפי המשוואה.

$$7x=21$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=2$$