פתור את {l}{5y=-13-4x}{3x+6y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 y = - 13 - 4 x } \\ { 3 x + 6 y = 13 } \end{array} \right.$$

פתור עבור y, x

$$x = -\frac{143}{9} = -15\frac{8}{9} \approx -15.888888889$$

$$y = \frac{91}{9} = 10\frac{1}{9} \approx 10.111111111$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. הוסף ‎4x משני הצדדים.

$$5y+4x=-13$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5y+4x=-13,6y+3x=13$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5y+4x=-13$$

החסר ‎4x משני אגפי המשוואה.

$$5y=-4x-13$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$y=\frac{1}{5}\left(-4x-13\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎-4x-13.

$$y=-\frac{4}{5}x-\frac{13}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{-4x-13}{5} במקום ‎y במשוואה השניה, ‎6y+3x=13.

$$6\left(-\frac{4}{5}x-\frac{13}{5}\right)+3x=13$$

הכפל את ‎6 ב- ‎\frac{-4x-13}{5}.

$$-\frac{24}{5}x-\frac{78}{5}+3x=13$$

הוסף את ‎-\frac{24x}{5} ל- ‎3x.

$$-\frac{9}{5}x-\frac{78}{5}=13$$

הוסף ‎\frac{78}{5} לשני אגפי המשוואה.

$$-\frac{9}{5}x=\frac{143}{5}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{9}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=-\frac{143}{9}$$

השתמש ב- ‎-\frac{143}{9} במקום x ב- ‎y=-\frac{4}{5}x-\frac{13}{5}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=-\frac{4}{5}\left(-\frac{143}{9}\right)-\frac{13}{5}$$

הכפל את ‎-\frac{4}{5} ב- ‎-\frac{143}{9} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$y=\frac{572}{45}-\frac{13}{5}$$

הוסף את ‎-\frac{13}{5} ל- ‎\frac{572}{45} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$y=\frac{91}{9}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=\frac{91}{9},x=-\frac{143}{9}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. הוסף ‎4x משני הצדדים.

$$5y+4x=-13$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5y+4x=-13,6y+3x=13$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-4\times 6}&-\frac{4}{5\times 3-4\times 6}\\-\frac{6}{5\times 3-4\times 6}&\frac{5}{5\times 3-4\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{4}{9}\\\frac{2}{3}&-\frac{5}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-13\right)+\frac{4}{9}\times 13\\\frac{2}{3}\left(-13\right)-\frac{5}{9}\times 13\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{91}{9}\\-\frac{143}{9}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.

$$y=\frac{91}{9},x=-\frac{143}{9}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. הוסף ‎4x משני הצדדים.

$$5y+4x=-13$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5y+4x=-13,6y+3x=13$$

כדי להפוך את ‎5y ו- ‎6y לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎6 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎5.

$$6\times 5y+6\times 4x=6\left(-13\right),5\times 6y+5\times 3x=5\times 13$$

פשט.

$$30y+24x=-78,30y+15x=65$$

החסר את ‎30y+15x=65 מ- ‎30y+24x=-78 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$30y-30y+24x-15x=-78-65$$

הוסף את ‎30y ל- ‎-30y. האיברים ‎30y ו- ‎-30y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$24x-15x=-78-65$$

הוסף את ‎24x ל- ‎-15x.

$$9x=-78-65$$

הוסף את ‎-78 ל- ‎-65.

$$9x=-143$$

חלק את שני האגפים ב- ‎9.

$$x=-\frac{143}{9}$$

השתמש ב- ‎-\frac{143}{9} במקום x ב- ‎6y+3x=13. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$6y+3\left(-\frac{143}{9}\right)=13$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-\frac{143}{9}.

$$6y-\frac{143}{3}=13$$

הוסף ‎\frac{143}{3} לשני אגפי המשוואה.

$$6y=\frac{182}{3}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$y=\frac{91}{9}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=\frac{91}{9},x=-\frac{143}{9}$$