פתור את {l}{5y+8x=-18}{5y+2x=58}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 y + 8 x = - 18 } \\ { 5 y + 2 x = 58 } \end{array} \right.$$

פתור עבור y, x

$$x = -\frac{38}{3} = -12\frac{2}{3} \approx -12.666666667$$

$$y = \frac{50}{3} = 16\frac{2}{3} \approx 16.666666667$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5y+8x=-18,5y+2x=58$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5y+8x=-18$$

החסר ‎8x משני אגפי המשוואה.

$$5y=-8x-18$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$y=\frac{1}{5}\left(-8x-18\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎-8x-18.

$$y=-\frac{8}{5}x-\frac{18}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{-8x-18}{5} במקום ‎y במשוואה השניה, ‎5y+2x=58.

$$5\left(-\frac{8}{5}x-\frac{18}{5}\right)+2x=58$$

הכפל את ‎5 ב- ‎\frac{-8x-18}{5}.

$$-8x-18+2x=58$$

הוסף את ‎-8x ל- ‎2x.

$$-6x-18=58$$

הוסף ‎18 לשני אגפי המשוואה.

$$-6x=76$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-6.

$$x=-\frac{38}{3}$$

השתמש ב- ‎-\frac{38}{3} במקום x ב- ‎y=-\frac{8}{5}x-\frac{18}{5}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=-\frac{8}{5}\left(-\frac{38}{3}\right)-\frac{18}{5}$$

הכפל את ‎-\frac{8}{5} ב- ‎-\frac{38}{3} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$y=\frac{304}{15}-\frac{18}{5}$$

הוסף את ‎-\frac{18}{5} ל- ‎\frac{304}{15} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$y=\frac{50}{3}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=\frac{50}{3},x=-\frac{38}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5y+8x=-18,5y+2x=58$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-8\times 5}&-\frac{8}{5\times 2-8\times 5}\\-\frac{5}{5\times 2-8\times 5}&\frac{5}{5\times 2-8\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}&\frac{4}{15}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}\left(-18\right)+\frac{4}{15}\times 58\\\frac{1}{6}\left(-18\right)-\frac{1}{6}\times 58\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{50}{3}\\-\frac{38}{3}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.

$$y=\frac{50}{3},x=-\frac{38}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5y+8x=-18,5y+2x=58$$

החסר את ‎5y+2x=58 מ- ‎5y+8x=-18 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$5y-5y+8x-2x=-18-58$$

הוסף את ‎5y ל- ‎-5y. האיברים ‎5y ו- ‎-5y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$8x-2x=-18-58$$

הוסף את ‎8x ל- ‎-2x.

$$6x=-18-58$$

הוסף את ‎-18 ל- ‎-58.

$$6x=-76$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$x=-\frac{38}{3}$$

השתמש ב- ‎-\frac{38}{3} במקום x ב- ‎5y+2x=58. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$5y+2\left(-\frac{38}{3}\right)=58$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-\frac{38}{3}.

$$5y-\frac{76}{3}=58$$

הוסף ‎\frac{76}{3} לשני אגפי המשוואה.

$$5y=\frac{250}{3}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$y=\frac{50}{3}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=\frac{50}{3},x=-\frac{38}{3}$$