פתור את {l}{5x-3y=2}{4x+7y=-3}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 2 } \\ { 4 x + 7 y = - 3 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=\frac{5}{47}\approx 0.106382979$$

$$y=-\frac{23}{47}\approx -0.489361702$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5x-3y=2,4x+7y=-3$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5x-3y=2$$

הוסף ‎3y לשני אגפי המשוואה.

$$5x=3y+2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+2\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎3y+2.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{3y+2}{5} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎4x+7y=-3.

$$4\left(\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}\right)+7y=-3$$

הכפל את ‎4 ב- ‎\frac{3y+2}{5}.

$$\frac{12}{5}y+\frac{8}{5}+7y=-3$$

הוסף את ‎\frac{12y}{5} ל- ‎7y.

$$\frac{47}{5}y+\frac{8}{5}=-3$$

החסר ‎\frac{8}{5} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{47}{5}y=-\frac{23}{5}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{47}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-\frac{23}{47}$$

השתמש ב- ‎-\frac{23}{47} במקום y ב- ‎x=\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{3}{5}\left(-\frac{23}{47}\right)+\frac{2}{5}$$

הכפל את ‎\frac{3}{5} ב- ‎-\frac{23}{47} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{69}{235}+\frac{2}{5}$$

הוסף את ‎\frac{2}{5} ל- ‎-\frac{69}{235} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{5}{47}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{5}{47},y=-\frac{23}{47}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5x-3y=2,4x+7y=-3$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{5\times 7-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{5\times 7-\left(-3\times 4\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{47}&\frac{3}{47}\\-\frac{4}{47}&\frac{5}{47}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{47}\times 2+\frac{3}{47}\left(-3\right)\\-\frac{4}{47}\times 2+\frac{5}{47}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{47}\\-\frac{23}{47}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{5}{47},y=-\frac{23}{47}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5x-3y=2,4x+7y=-3$$

כדי להפוך את ‎5x ו- ‎4x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎5.

$$4\times 5x+4\left(-3\right)y=4\times 2,5\times 4x+5\times 7y=5\left(-3\right)$$

פשט.

$$20x-12y=8,20x+35y=-15$$

החסר את ‎20x+35y=-15 מ- ‎20x-12y=8 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$20x-20x-12y-35y=8+15$$

הוסף את ‎20x ל- ‎-20x. האיברים ‎20x ו- ‎-20x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-12y-35y=8+15$$

הוסף את ‎-12y ל- ‎-35y.

$$-47y=8+15$$

הוסף את ‎8 ל- ‎15.

$$-47y=23$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-47.

$$y=-\frac{23}{47}$$

השתמש ב- ‎-\frac{23}{47} במקום y ב- ‎4x+7y=-3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$4x+7\left(-\frac{23}{47}\right)=-3$$

הכפל את ‎7 ב- ‎-\frac{23}{47}.

$$4x-\frac{161}{47}=-3$$

הוסף ‎\frac{161}{47} לשני אגפי המשוואה.

$$4x=\frac{20}{47}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{5}{47}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{5}{47},y=-\frac{23}{47}$$