פתור את {l}{5x-3y=18}{2x+y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 18 } \\ { 2 x + y = 5 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=3$$

$$y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5x-3y=18,2x+y=5$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5x-3y=18$$

הוסף ‎3y לשני אגפי המשוואה.

$$5x=3y+18$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+18\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎18+3y.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{18}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{18+3y}{5} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x+y=5.

$$2\left(\frac{3}{5}y+\frac{18}{5}\right)+y=5$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{18+3y}{5}.

$$\frac{6}{5}y+\frac{36}{5}+y=5$$

הוסף את ‎\frac{6y}{5} ל- ‎y.

$$\frac{11}{5}y+\frac{36}{5}=5$$

החסר ‎\frac{36}{5} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{11}{5}y=-\frac{11}{5}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{11}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-1$$

השתמש ב- ‎-1 במקום y ב- ‎x=\frac{3}{5}y+\frac{18}{5}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{3}{5}\left(-1\right)+\frac{18}{5}$$

הכפל את ‎\frac{3}{5} ב- ‎-1.

$$x=\frac{-3+18}{5}$$

הוסף את ‎\frac{18}{5} ל- ‎-\frac{3}{5} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5x-3y=18,2x+y=5$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&-3\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\5\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\5\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{5-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{5-\left(-3\times 2\right)}&\frac{5}{5-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{3}{11}\\-\frac{2}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 18+\frac{3}{11}\times 5\\-\frac{2}{11}\times 18+\frac{5}{11}\times 5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=3,y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5x-3y=18,2x+y=5$$

כדי להפוך את ‎5x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎5.

$$2\times 5x+2\left(-3\right)y=2\times 18,5\times 2x+5y=5\times 5$$

פשט.

$$10x-6y=36,10x+5y=25$$

החסר את ‎10x+5y=25 מ- ‎10x-6y=36 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$10x-10x-6y-5y=36-25$$

הוסף את ‎10x ל- ‎-10x. האיברים ‎10x ו- ‎-10x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-6y-5y=36-25$$

הוסף את ‎-6y ל- ‎-5y.

$$-11y=36-25$$

הוסף את ‎36 ל- ‎-25.

$$-11y=11$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-11.

$$y=-1$$

השתמש ב- ‎-1 במקום y ב- ‎2x+y=5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x-1=5$$

הוסף ‎1 לשני אגפי המשוואה.

$$2x=6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=-1$$