פתור את {l}{5x-14=3y}{7(3x-2y)=35}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 14 = 3 y } \\ { 7 ( 3 x - 2 y ) = 35 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=13$$

$$y=17$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎3y משני האגפים.

$$5x-14-3y=0$$

הוסף ‎14 משני הצדדים. כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו.

$$5x-3y=14$$

שקול את המשוואה השניה. חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$3x-2y=\frac{35}{7}$$

חלק את ‎35 ב- ‎7 כדי לקבל ‎5.

$$3x-2y=5$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5x-3y=14,3x-2y=5$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5x-3y=14$$

הוסף ‎3y לשני אגפי המשוואה.

$$5x=3y+14$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+14\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎3y+14.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{14}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{3y+14}{5} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x-2y=5.

$$3\left(\frac{3}{5}y+\frac{14}{5}\right)-2y=5$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{3y+14}{5}.

$$\frac{9}{5}y+\frac{42}{5}-2y=5$$

הוסף את ‎\frac{9y}{5} ל- ‎-2y.

$$-\frac{1}{5}y+\frac{42}{5}=5$$

החסר ‎\frac{42}{5} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{1}{5}y=-\frac{17}{5}$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎-5.

$$y=17$$

השתמש ב- ‎17 במקום y ב- ‎x=\frac{3}{5}y+\frac{14}{5}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{3}{5}\times 17+\frac{14}{5}$$

הכפל את ‎\frac{3}{5} ב- ‎17.

$$x=\frac{51+14}{5}$$

הוסף את ‎\frac{14}{5} ל- ‎\frac{51}{5} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=13$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=13,y=17$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎3y משני האגפים.

$$5x-14-3y=0$$

הוסף ‎14 משני הצדדים. כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו.

$$5x-3y=14$$

שקול את המשוואה השניה. חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$3x-2y=\frac{35}{7}$$

חלק את ‎35 ב- ‎7 כדי לקבל ‎5.

$$3x-2y=5$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5x-3y=14,3x-2y=5$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&-3\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\5\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\5\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{5\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}&\frac{5}{5\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 14-3\times 5\\3\times 14-5\times 5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\17\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=13,y=17$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎3y משני האגפים.

$$5x-14-3y=0$$

הוסף ‎14 משני הצדדים. כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו.

$$5x-3y=14$$

שקול את המשוואה השניה. חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$3x-2y=\frac{35}{7}$$

חלק את ‎35 ב- ‎7 כדי לקבל ‎5.

$$3x-2y=5$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5x-3y=14,3x-2y=5$$

כדי להפוך את ‎5x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎5.

$$3\times 5x+3\left(-3\right)y=3\times 14,5\times 3x+5\left(-2\right)y=5\times 5$$

פשט.

$$15x-9y=42,15x-10y=25$$

החסר את ‎15x-10y=25 מ- ‎15x-9y=42 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$15x-15x-9y+10y=42-25$$

הוסף את ‎15x ל- ‎-15x. האיברים ‎15x ו- ‎-15x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-9y+10y=42-25$$

הוסף את ‎-9y ל- ‎10y.

$$y=42-25$$

הוסף את ‎42 ל- ‎-25.

$$y=17$$

השתמש ב- ‎17 במקום y ב- ‎3x-2y=5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x-2\times 17=5$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎17.

$$3x-34=5$$

הוסף ‎34 לשני אגפי המשוואה.

$$3x=39$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=13$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=13,y=17$$